第三章 高考重难专攻（一） 第1课时 导数与不等式-（课件 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第三章 一次函数的导数及其应用 高考重难专攻(一)　函数、导数与不等式 第一课时　导数与不等式 请完成课下作业 观 谢 看 谢 要点一 构造函数证明不等式 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x<x<ex(x>0)，eq \f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)； (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解． eq \a\vs4\al([小题查验]) 1．(2021·陕西商洛模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，f′(x)＋4x>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式f(sin x)－cos 2x≥0的解集为(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ))，k∈Z B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ))，k∈Z D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z 解析：D　令t＝sin x，则t∈[－1，1]，cos 2x＝1－2sin2x＝1－2t2， 所以不等式f(sin x)－cos 2x≥0可化为f(t)＋2t2－1≥0， 故令g(t)＝f(t)＋2t2－1，t∈[－1，1]， 则g′(t)＝f′(t)＋4t， 由已知f′(x)＋4x>0，得g′(t)＝f′(t)＋4t>0， 故g(t)在[－1，1]上单调递增． 又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)－1＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0， 所以不等式g(t)≥0，即f(t)＋2t2－1≥0的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))． 因为t＝sin x，故解不等式sin x≥eq \f(1,2)，得eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z． 即不等式f(sin x)－cos 2x≥0的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z．故选D． 2．证明：当x∈[0，1]时，eq \f(\r(2),2)x≤sin x≤x． 证明：令F(x)＝sin x－eq \f(\r(2),2)x，则F′(x)＝cos x－eq \f(\r(2),2)． 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，F′(x)>0，F(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))时，F′(x)<0，F(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))上单调递减． 又F(0)＝0，F(1)>0， 所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0， 即sin x≥eq \f(\r(2),2)x． 记H(x)＝sin x－x， 则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cos x－1<0， 所以H(x)在[0，1]上是单调递减， 则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x． 综上，当x∈[0，1]时，eq \f(\r(2),2)x≤sin x≤x．