第八章 高考重难专攻（二） 第1课时 最值、范围、证明问题-（课件 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第八章 平面解析几何 高考重难专攻(二)　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值、范围、证明问题 请完成课下作业 观 谢 看 谢 题型一 最值问题 eq \a\vs4\al([师生共研]) [例1]　(2021·河北衡水模拟)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，短轴一个端点到右焦点的距离为eq \r(3)． (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为eq \f(\r(3),2)，求△AOB面积的最大值． [解]　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a＝\r(3)，)) ∴c＝eq \r(2)，b2＝a2－c2＝1，∴所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为y＝kx＋m． 由已知eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，得m2＝eq \f(3,4)(k2＋1)． 把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理， 得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0． Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0． ∴x1＋x2＝eq \f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq \f(3（m2－1）,3k2＋1)． ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(36k2m2,（3k2＋1）2)－\f(12（m2－1）,3k2＋1))) ＝eq \f(12（k2＋1）（3k2＋1－m2）,（3k2＋1）2)＝eq \f(3（k2＋1）（9k2＋1）,（3k2＋1）2) ＝3＋eq \f(12k2,9k4＋6k2＋1)＝3＋eq \f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)(k≠0) ≤3＋eq \f(12,2×3＋6)＝4． 当且仅当9k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±eq \f(\r(3),3)时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝eq \r(3)，综上所述|AB|max＝2． ∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值 Smax＝eq \f(1,2)×|AB|max×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)． eq \a\vs4\al([解题攻略]) 代数法求解最值问题的策略 把要求的最值问题(几何量或代数表达式)表示成某个(些)变量的函数，然后利用基本不等式或函数的单调性(最值)求解，有时也可借助导数法求解． eq \a\vs4\al([跟踪训练]) (2021·成都模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，且椭圆C的离心率为eq \f(1,2)． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点M(3，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△ABF2面积的最大值． 解：(1)∵P在椭圆C上，|PF1|＝2， ∴|PF2|＝2a－2． 在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， 即4c2＝4＋(2a－2)2－4(2a－2)cos eq \f(π,3) 化简，得c2＝a2－3a＋3．① 又椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2c．② 由①②，解得c＝1，a＝2． ∴b2＝a2－c2＝3． ∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． (2)由题意，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为x＝my＋3． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋3，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去x，得(3m2＋4)y2＋18my＋15＝0． 由Δ＝144m2－240>0，得m2>eq \f(5,3) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则y1＋y2＝eq \f(－18m,3m2＋4)，y1y2＝eq \f(15,3m2＋4) ∴|AB|＝eq \r(1＋m2)|y1－y2| ＝eq \r(1＋m2)·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) ＝eq \f(4\r(1＋m2)·\r(9m2－15),3m2＋4) 设点F2到直线l的距离为d，又F2(1，0)，则d＝eq \f(2,\r(m2＋1))． ∴S△ABF2＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(4\r(9m2－15),3m2＋4) 令eq \