易错点04 一元二次不等式及一元二次方程-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题04 一元二次不等式、一元二次不等式 一元二次不等式、一元二次不等式 分式不等式忽视分母不为零 解一元二次不等式忽视二次项系数的正负 一元二次方程根的分布条件列举不全 解一元二次不等式忽视两根的大小关系 一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭 易错知识 1．解分式不等式时要注意分母不能为零； 2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错； 5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系； 易错分析 一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错 1．不等式≤1的解集是________． 【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}． 【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。 【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}． 二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错 2.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足 解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)， 选A． 【错因】没有对二次项系数m讨论。 【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0. 当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立； 当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2. 综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C 提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面这个题目是不用讨论的。 例：若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 实数a的取值范围为(－3，3)。 三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错． 3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 ) A. B. C．{x|x≤或x≥2}． D． 【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C　 【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零， 【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B　 四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错 4．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，－] B. C. D． 【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a≤－,选A。 【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以2－可以取到－，则a<－，不能取等号。 【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－.选B。 5．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为(　 ) A．(－∞，2) B. C．[1，＋∞) D． 【错解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，故实数t的取值范围是t>.选B. 【错因】因为x∈(1,2)，即x取不到端点值，故实数t的取值范围是t≥. 【正解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，即x＋取不到端点值，故实数t的取值范围是t≥.选D。 五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错 6． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________． 【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则， 则，即，即 解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)． 【错因】条件不能推出，例如时，满足，但。 【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝， 由题意得，即 解得－5<m≤－4，故m的取值范围