3.1.2 椭圆的几何性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.1.2 椭圆的几何性质 一、椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 二、点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 三、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 四、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 五、解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为， 则有。 题型一 椭圆的几何性质 【例1】求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （2）长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （3）长轴长为10，短轴长为8，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （4）长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为. 【解析】（1）由椭圆方程知，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （2）由椭圆方程知，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （3）椭圆方程可变形为，所以， 所以椭圆的长轴长为10，短轴长为8，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为； （4）椭圆方程可变形为，所以， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为，焦点坐标为. 【变式1-1】已知椭圆E，焦点F到长轴的两个顶点的距离分别为1和9，则椭圆E的短轴长等于（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【解析】设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c. 由题意可得：，解得：. 所以. 故椭圆E的短轴长为.故选：D 【变式1-2】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点． （1）求满足条件的椭圆方程； （2）求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率． 【答案】（1）；（2）长半轴的长为，顶点坐标为、、、，离心率为． 【解析】（1）设椭圆的标准方程为， 则 所以椭圆的标准方程为 （2）由（1）知，椭圆的长半轴长为， 顶点坐标为、、、， 离心率. 【变式1-3】下列结论正确的是（ ） A．与有相同的离心率 B．与有相同的焦点 C．与有相同的顶点 D．与有相同的离心率 【答案】B 【解析】A：离心率为；离心率为，离心率不同，错误； B：焦点为；焦点为，焦点相同，正确； C：顶点为；顶点为，顶点不同，错误； D：离心率为；离心率为，离心率不同，错误. 故选：B 题型二 由几何性质求椭圆方程 【例2】焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3 所以，即， 所以， 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程是.故选：A 【变式2-1】焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（