3.1.1 椭圆的标准方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

3.1.1 椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 1、定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()， 这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 2、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 二、椭圆标准方程的推导： 1、怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 三、椭圆的标准方程对比 四、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 题型一 对椭圆定义的理解 【例1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】对A，∵|F1F2|＝8， ∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为 |F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确， 对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误． 故选：AC 【变式1-1】若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 【答案】动点的轨迹是椭圆，其标准方程为 【解析】由于点满足， 即点到两个定点，的距离之和等于常数， 由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 且，故， 故椭圆的标准方程为. 【变式1-2】若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______． 【答案】 【解析】 椭圆方程为： 椭圆的焦点在轴上， 且 可得，即 又 由椭圆的定义： 解得： 点到另一个焦点的距离为 故答案为：. 【变式1-3】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】椭圆，所以，即， 设上焦点为，下焦点为，则， 因为，所以，即点到下焦点的距离为；故选：A 【变式1-4】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点M是椭圆C上一点，点N是线段的中点，O为坐标原点，若，则__________. 【答案】2 【解析】由得，由椭圆方程得， 故，由于是的中位线， 故. 故答案为：2. 【变式1-5】已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则______. 【答案】 【解析】由椭圆的定义，①，又，②， ①②联立得，解得， 又点是椭圆上第一象限内的点， 有，. 故答案为：. 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点； （2）经过点，． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知椭圆的焦点在y轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 由椭圆的定义知，， 即． 又c＝2，所以． 所以椭圆的标准方程为． （2）设椭圆的方程为（，，且）． 因为点，在椭圆上， 所以代入椭圆的方程得，解得，， 所以椭圆的标准方程为． 【变式2-1】中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）. A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为焦距为8，所以，即 又因为椭圆的焦点在轴上，且过点（3，0）， 所以 ， 所以椭圆的方程为.故选：B 【变式2-2】过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆， ∴焦点坐标为