专题20 极值点偏移问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题20 极值点偏移问题 1．极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示. 极值点x0 函数值的大小关系 图示 极值点不偏移 x0＝ f(x1)＝f(2x0－x2) 极值点偏移 左移 x0< 峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2) 峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2) 右移 x0> 峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2) 峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2) 2.函数极值点偏移问题的题型及解法 极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式： (1) 若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)， 求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)， 求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0； (4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝， 求证：f′(x0)>0. 3.极值点偏移问题的一般解法 3.1对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 3.2．差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 3.3．比值代换法 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系