第一章 专题一 本章易错点例析 （内文）-【教与学·学导练】2022-2023学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版（内文） 专题一 本章易错点例析 2 易错点1.忽略勾股定理成立的条件 【例1】在△ABC中，a, b, c分别是∠A, ∠B, ∠C的对边，a＝3,b＝4,c为质数，求c． 错解：由勾股定理，得 c2＝a2＋b2＝32＋42＝25, 故c＝5． 错因分析：不注意勾股定理的成立条件而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解． 正解：由三角形三边之间的关系，得b－a＜c＜b＋a,即1＜c＜7.又因为c为质数，故c＝2或c＝3或c＝5． 1. 在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝5, b＝12,c为奇数，求c． 解：由三角形三边之间的关系，得 b－a＜c＜b＋a,即7＜c＜17. 又因为c为奇数， 故c＝9或c＝11或c＝13或c＝15． 易错点2.错误地使用勾股定理 【例2】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 错解：甲船航行的距离为BM＝8×2＝16（海里）， 乙船航行的距离BP＝15×2＝30（海里）. 因为＝34（海里），MP＝34（海里）， 所以△MBP为直角三角形. 所以∠MBP＝90°. 所以乙船是沿着南偏东30°方向航行的. 错因分析：虽然结果是对的，但解题过程存在问题. 本题需要先使用勾股定理的逆定理对三角形的形状做出判断，再进行解答. 正解：甲船航行的距离为BM＝8×2＝16（海里），乙船航行的距离BP＝15×2＝30（海里）. 因为162＋302＝1156,342＝1156， 所以BM2＋BP2＝MP2.所以△MBP为直角三角形. 所以∠MBP＝90°.所以乙船是沿着南偏东30°方向航行的. 2. 如图Z1－1－1，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以每小时30海里的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙 船的速度是每小时多少海里？ 解：由题意，得AC＝30×2＝60 (海里)． 因为∠EAC＝35°，∠FAB＝55°， 所以∠CAB＝180°－∠EAC－∠FAB＝90°． 因为BC＝100海里， 所以AB＝＝80 (海里)． 因为乙船也航行了2小时， 所以乙船的速度＝80÷2＝40 (海里/时)． 答：乙船的速度是每小时40海里. 易错点3.没有分类讨论 【例3】已知一个直角三角形的两条边长分别为5 cm, 12 cm，求第三条边的长. 错解：根据勾股定理，第三条边的长＝122＋52＝13 (cm). 错因分析：由于受勾股数组5, 12, 13的影响，看到题设数据，便断定第三条边为斜边.实际上，题意并未说明第三边是斜边还是直角边，因此需要分类求解. 正解：①当12是直角边时，根据勾股定理，得斜边的长＝＝13（cm）； ②当12是斜边时，根据勾股定理，得第三条边的长＝＝（cm）.故第三边的长为13 cm或 cm. 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，求这个直角三角形的第三边的长． 解：①当第三边为斜边时，根据勾股定理，得 第三边的长＝＝5. ②当第三边为直角边时，根据勾股定理，得 第三边的长＝＝. 故第三边的长为5或． 【例4】在△ABC中，已知AB＝12，AC＝10，边BC上的高AD＝8，求BC的长． 错解：如图Z1－1－2.因为AD⊥BC，根据勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2， 所以BD＝＝＝4， CD＝＝＝6. 所以BC＝BD＋DC＝4＋6. 错因分析：上述解答是不完整的，它只考虑了高AD在△ABC内部时的情形，而忽略了高AD在△ABC外部时的情形. 正解：分两种情况.①若高在△ABC的内部，如图Z1－1－3①． 因为AD⊥BC，根据勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2，AC2＝D2＋CD2. 所以BD＝＝＝4， CD＝＝＝6. 所以BC＝BD＋DC＝4＋6. ②若高在△ABC的外部，如图Z1－1－3②， 同理可得 BD＝＝＝4， CD＝＝＝6. 所以BC＝BD－CD＝4－6.综上所述，BC的长为4±6． 4. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，边BC上的高AD＝12，求△ABC的周长． 解：分两种情况讨论. a.如答图Z1－1－1①,当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD＝＝＝9. 在Rt△ACD中，根据勾