1.1探索勾股定理 同步课时练习 2025-2026学年北师大版（2012）八年级数学上册

1.1探索勾股定理 同步课时练习 一．选择题 1．已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 2．直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝CD，BC＝8，AD＝4，则CD的长为（　　） A．6.5 B．5.5 C．6 D．5 4．如图，长为24cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升5cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 5．如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．12m B．13m C．14m D．15m 6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（　　） A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10.5，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（　　） A．8 B．16 C．25 D．27 二．填空题 9．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，则BC的长为　 　 ． 11．勾股定理是人类最伟大的数学发现之一，如图1，以Rt△ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为S1，S2，若已知S1＝8，S2＝6，Rt△ABC的斜边AB的长为　 　 ． 12．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，这棵大树在折断前的高度为　 　 米． 13．如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 　 　 ． 三．解答题 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D． 求：（1）AC的长和△ABC的面积；（2）CD的长． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20． （1）求BC的值； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求BD的值． 16．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝9m，DA＝12m，BC＝8m，CD＝17m，求出空地ABCD的面积． 17．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米到点M，则他应该往回收线多少米？ 18．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： （1）如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：c2＝a2+b2； （2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度． 19．勾股定理神秘西美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，性惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆收时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形． （1）请把四边形ACFD的面积表示出来； （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 20．【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法． 如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图1），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：　 　 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若b﹣a＝1，c2＝25，求b2﹣a2的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C A D D 二．填空题 9．． 10．略 11．略 12．16． 三．解答题 14．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， AC4（cm）； S△ABCAC•BC4×3＝6（cm2）； （2）∵CD⊥AB， ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD2.4（cm）． 15．解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20， ∴BC25； （2）∵AD⊥BC， ∴S△ABC， ∴AD12， ∴BD9． 16．解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝92+122＝152， 在△CBD中，CD2＝172，BC2＝82， 而82+152＝172， 即BC2+BD2＝CD2， ∴△DBC为直角三角形， ∴∠DBC＝90°， ， 答：空地ABCD的面积114m2． 17．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得， CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， ∴CD＝16（负值舍去）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.6＝17.62（米）， 答：风筝的高度CE为17.6米； （2）由题意得，CM＝11 米， ∴DM＝5 米， ∴BM13 （米）， ∴BC﹣BM＝20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 18．解：（1）∵外面大正方形的面积＝c2，里面小正方形的面积+4个直角三角形的面积， ∴，整理，得c2＝a2+b2． （2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， ∵CD是AB边上的高， ∴， ∴． 19．（1）解：四边形ACFD的面积； （2）证明：由题意知BF＝b﹣a， ∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE，S四边形ABED＝S△ADB+S△DEBa（b﹣a）， ∴a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 20．解：【教材呈现】通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （1）a2+b2＝c2理由如下： ∵大正方形的面积＝c2＝4， ∴c2＝a2+b2； （2）∵b﹣a＝1，c2＝25， ∴（b﹣a）2＝1， ∴b2+a2﹣2ba＝1，b﹣a＝1， ∴c2﹣2ab＝1， ∴2ab＝24， ∴（b+a）2＝b2+a2+2ab＝25+24＝49， ∴b+a＝7（负值舍去）， ∴b2﹣a2的＝（b+a）（b﹣a）＝7． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 12:14:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $