1.4 勾股定理的应用-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练 数学·八年级·上册（北师大版） 第4课时 勾股定理的应用 知识储备 1.运用勾股定理解决实际问题要寻找或构造 ,把实际问题抽象成几何问题 2.在立体图形中找最短距离，通常要把立体图形转化为 图形，再利用“两点之间所有连线中， 最短”这个性质，找到立体图形表面上两点的最短路径，并利用 求解， ©讲练 核心考点勾股定理 1.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm, 例D一个长方形抽屉长12cm,宽9cm,贴抽屉 12cm,则BD'= 底面放一根木棍，那么这根木棍最长（不计 木棍粗细)可以是 A.15 cm B.13 cm C.9 cm I D.8 cm 核心考点2路径最短问题 2.如图，两树高分别为10米和4米，相距8米， 例2【教材P13改编】如图，一圆柱体的底面周长 只鸟从其中一树的树梢飞到另一树的树梢， 为24cm,高AB为5cm,BC是直径，一只 则小鸟至少飞行 米. 蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到 点C的最短路程是 A.10 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 例3【教材P13例题改编】下图是一个滑梯示意3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形油桶， 图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB 在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁 一样长.已知滑梯的高CE=3m,CD 棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根 1m,试求滑道AC的长. 铁棒的长在什么范围内？ 第一章勾股定理 课堂检 N基础训练 1.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形 2.如图，某人想垂直横渡宽(AB处) 的是 为480米的一条河，由于水流的 A.三内角之比为1：3：4 影响，他实际上岸地点C偏离了 B.三边长的平方之比为1：2：3 想要达到的B点140米，（即BC=140米），则 C.三边长之比为7：24：25 他在水中实际游了 ( D.三内角之比为2：3：7 A.360米B.400米C.480米D.500米 3.已知一个三角形工件尺寸如图所示，则高h为4.如图，长方体的高为9cm,底面 是边长为6cm的正方形，一只 9cm A.3 B.4 蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点 c号 D.5 B,那么它爬行的最短路程为 6cm cm, 能力训练 5.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得 6.如图，长方体的底面边长分别 内部底面半径为2.5cm,高为12cm, 是1cm和3cm,高是6cm, 6 cm 吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 如果用一根细线从点A开始 4.6cm,则吸管至少要长 cm. 经过4个侧面缠绕一圈到达 点B,那么用细线的长度最短是 A.12 cm B.10 cm C.13 cm D.11 cm 拓展训练 20 dm 7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm,3dm,2dm,A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 8.表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000千克， 如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从B点 到A点)均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少 长 A.3√/10米 B.3v2米 C.910米 D.9√2米参考答案 参芳答案 【核心讲练】 正文参考答案月 【例1】D1.(1)②④(2)10 七G06G0e0 【例2】解：(1)CD=12, 第一章 勾股定理 XCDXAC-X12XAC-30. ∴.AC=5, 第1课时 探索勾股定理(1)】 又：BC=3,AB=4,B+AB=25=AC. 【知识储备】 .△ABC是直角三角形. 两直角边的平方和斜边的平方十矿=2 (2)由(1)知△ABC是直角三角形， 【核心讲练】 【例1】B1.(1)17(2)4(3)68(4)1.5 Se=号×ABX BC=-X4X3=6. 【例2C2.(1)C(2)60 2.解：(1)AD⊥CD.理由：如答图，连接AC 【课堂检测】 :AB=20,BC=15,∠B=90, 1.5cm2.B3.C4.B5.496.1048 ,.由勾股定理.得AC=20+15=625, 7.76 又，CD=7,AD=24,.CD十AD=625 8.解：1)在Rt△ABD中，AD=6,AB=8, ∴AC=CD+AD,.∠D=90, ,.BD=AB+AD=82+6=100=10.∴.BD=10. ∴AD与CD垂直： 在Rt△DBC中，BD=10,BC=24, (2)四边形ABCD的面积=号 AD·DC+ .D=BD+B=10+24=676=26,.DC=26. (2)四边形ABCD的面积=Rt△ABD的面积十Rt△DBC的 7AB,=号×21X7+7×20X15=234 面积=名AB·AD叶号BD·BC=2×6×8+号×10×24 【课堂检测】 =144. 1.6em,8cm,10cm2.A3.合格4.C5.C6.C 7.B8.24 第2课时 探索勾股定理(2) 9.解：AB=13.AD=12,BD=5. 【核心讲练】 ∴.AD+BD=12+5=169=13=AB5 【例191.C【例2】A2.C ·△ADB是直角三角形，且∠ADB=90, 【例3】B ∴∠ADC=90..在R△ACD中.由勾股定理，得 3.解：(1)在△ABC中，∠ACB=90, CD=AC-AD=15-12=81.∴.CD=9. ,.AB=AC十BC=72+24=625,.AB=25: 10.解：设AF=a,则FD=3a,DC=BC=4a,AE=EB=2a (2):CD是边AB上的高， 在Rt△AEF中，EF=AE+AF=5. 号AC·BC=ABCD, 在R△DFC中，FC=FD+CD=25d. 在R△EBC中，EC=BE+BC=20u. 号×7×24=号×25.cDcD- 25 ∴.EC+EF=25a=FC.∴.△EFC是直角三角形. 【课堂检测】 第4课时勾股定理的应用 1.242.C3.S+S=S4.C5.D6.900000 【知识储备】 7.解：(1)在Rt△ABC中， 1,直角三角形2.平面线段勾股定理 由勾股定理得AB=BC十AC, 【核心讲练】 ∴.BC=AB-AC=252-15=400,∴BC=20米， 【例1】A1.13cm【例2C2.10 即这个梯子的底端距墙有20米远. 【例3】解：设滑道AC的长为xm,则AB的长为rm,AE的长为(x (2)由题意可知AD=9米，，CD=24米， -1)m. 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE=CD+CE, 在Rt△ACE中，∠AEC=90, ∴.CE=DE-CD=25-24=49,∴.CE=7米， 由勾股定理得AE+CE=AC,即(.一1)+3零=x, .BE=BC-CE=20-7=13(米). 解得5，故滑道AC的长度为5m 即梯子的底部在水平方向上应滑动13米。 3.解：设伸人油桶中的长度为rm 8.2.4 则伸人长度最长时，=1.5+2，解得x=2.5. 第3课时一定是直角三角形吗 所以这根铁棒最长是2.5十0,5=3(m). 【知识储备】 伸人长度最短时r=1,5, l.a+=c22.a2+=c2正整 所以这根铁棒最短是1.5十0.5=2(m). 答：这根铁棒的长应在2~3m范围内. 高效课堂宝典训练数学入年级上册（北师大版） 【课堂检测】 根据两点之间线段最短，AB=10cm, 1.D2.D3.B4.155.17.66.B7.25dm8.D 故答案为：10. 教材回归专题一 【变式三】解：如答图， 利用勾股定理判别直角三角形 【变式-】解：：在△ADC中，AD=12,CD=9,AC=15, ·AC=AD十CD,.△ADC是直角三角形. 答图 且∠ADC=90°..∠ADB=180-90=90°， 即△ADB是直角三角形. AC=x×6÷2=3(em）,BC=4cm. 在Rt△ADB中，BD=AB-AD=25,即BD=5. 则蚂蚁走过的最短路径为AB=5cm(根据勾股数得)， 【变式二】解：由勾股定理，得AE=9.BE=16.AB=9+16=25, 在△ABC中，AB=AC+BC..△ABC是直角三角形. 所用时间为5÷2=受(s. △ABC的面积是=号×15×20=150， 教材回归专题三 【变式三】解：：BC=BD十CD,△BDC为直角三角形. 利用勾股定理进行方格作图与计算 设AB=AC=rcm, AC=AD+CD,即2=(x-6)+8x=25, 3 教材母题→P10随堂练习2 △ABC的周长=2AB+BC=婴m 【变式-】解：15m=S0-S==7X6-2×2X3- 【变式四】解：在Rt△ABC中，AC+BC+AB=3+4=5, 2×4X6-号×4X1=13: AC=5. (2)AB=13,BC=52.AC=65.AB+BC=AC, 在△ACD中.CD=12,AD=13,而52+12=13 .△ABC是直角三角形. 即CD+AC=AD..∠ACD=90. 【变式二】解：(1)如答图所示 【变式五】解：如答图，连接AC, (2)在△ACD中， ∠ADC=90°， AC=20.CD=5,AD=25. AD=4.CD=3., AC+CD=AD. ∴.AC=AD+CD=4+3=25. 答困 .△ACD是直角三角形. 又AC>0,∴.AC=5, 又BC=12,AB=13,'.AC+BC=5+12=169, (3)SH0mw=4X6-7×2X1] 答图 又：AB=169,.AC+BC=AB..∠ACB=90, .Smm5B=Sr一Sm=30一6=24m2. 合×4X3-×21-号×43=10 教材回归专题二 r教材母题→P43第4题 【变式一】解：(1)如答图所示， 利用勾股定理解决路径最短问题 5=4X4×1×8-×3X4-×1X4=号 2 【变式一】解：(1)连接AB,AB与【的交点即为所求的P点，如 答图1： 答图1 答图2 答图3 答图 (2)如答图，高BD即为所求，由勾股定理易知AC=5, (2)作点A关于1的对称点A',连接A'B交1于点P,则P为所 求的点，如答图2. 5-BDAC-BD- (3)把盒面展开，使包含点A和点C的两个盒面在同一平面内，据 【变式二】解：如答图1一4所示.（答案不唯一） 两点之间线段最短，只要连接AC,就是最短路径，如答图3. 【变式二】解：如答图，将长方体展开，连接AB, B 答图1 答图2 答图3 答图4 难点突破专题一利用勾股定理列方程求边长 答图 矿难点突破1单勾列方程 :AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6cm, 1.解：设AD=BD=x,CD=8一x,