精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期阶段考试数学试卷

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高 三年级阶段考试数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的值域为，则a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分. 9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A. B. C. D. 10. 已知动点M到点的距离为，记动点M的运动轨迹为，则（ ） A. 直线把分成面积相等的两部分 B. 直线与没有公共点 C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等 D. 存在，使得与x轴和y轴均相切 11. 已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A B. 当时，最小 C. 当时，最小 D. 存，使得 12. 已知函数，则（ ） A. 曲线在点处切线方程为 B. 曲线的极小值为 C. 当时，仅有一个整数解 D. 当时，仅有一个整数解 三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 13. 若，，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______． 15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________. 16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为___________. 四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角； （2）若点在边上，且，求面积的最大值. 18. 已知数列的前n项和. （1）求的通项公式； （2）若数列满足对任意的正整数n，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图. （1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数） （2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 参考数据： 2.82 32.56 0.46 5.27 ，，. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 21. 已知椭圆的离心率为，且点在C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设，为椭圆C的左，右焦点，过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程. 22 已知函数． （1）证明：当时，； （2）记函