第一章 集合与常用逻辑用语 本章总结（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

本章总结 知|识|结|构 核|心|回|归 1．集合的“三性” 正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性。在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意。 2．集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等。判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据。空集比较特殊，它不含有任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅。 3．集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具。注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B。 4．充分条件与必要条件的判定 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼。证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混。 5．全称量词与存在量词 (1)要注意全称量词命题、存在量词命题的自然语言之间的转换。 (2)常用“都是”表示全称肯定，它的否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的肯定可用“至少有一个是”来表示。 要|点|突|破 要点一 集合的运算 【例1】　已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|5－a<x<a}。 (1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围。 【解】　(1)A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}＝{x|2<x<10}，∁UA＝{x|0<x<3，或x≥7}，(∁UA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}。 (2)①若C＝∅，则5－a≥a，解得a≤。 ②若C≠∅，则2≤5－a<a≤10，解得<a≤3。 综上所述，a的取值范围是{a|a≤3}。 集合运算过程中应力求做到“三化” (1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集。 (2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式。 (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题。 【变式训练1】　已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B＝{3,4,5,6}。 (1)求A∩B，A∪B； (2)写出集合(∁UA)∩B的所有子集。 解　(1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}， 集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2,4}，集合B＝{3,4,5,6}。 A∩B＝{4}，A∪B＝{2,3,4,5,6}。 (2)因为∁UA＝{1,3,5,6}， 所以(∁UA)∩B＝{3,5,6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3,5}，{3,6}，{5,6}，{3,5,6}，共8个。 要点二 集合中的实际应用 【例2】　某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人(假定只有这两种报纸)。试问： (1)只订日报不订晚报的有多少人？ (2)只订晚报不订日报的有多少人？ (3)至少订一种报纸的有多少人？ (4)有多少人不订报纸？ 【解】　设I＝{x|x是500位抽样调查的市民}，A＝{x|x是订阅日报的人}，B＝{x|x是订阅晚报的人}，则card(A∩B)＝150，card(I)＝500，card(A)＝334，card(B)＝297。用Venn图表示如图所示。 (1)A∩(∁IB)＝{x|x是只订日报不订晚报的人}， 则card(A∩(∁IB))＝334－150＝184。 (2)B∩(∁IA)＝{x|x是只订晚报不订日报的人}， 则card(B∩(∁IA))＝297－150＝147。 (3)A∪B＝{x|x是至少订一种报纸的人}， 则card(A∪B)＝334＋297－150＝481。 (4)∁I(A∪B)＝{x|x是不订报纸的人}， 则card(∁I(A∪B))＝500－481＝19。 容斥原理的应用 在部分有限集中，经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合中元素的个数，即card(A)表示有限集A中元素的个数。则有如下结论： (1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)＝