专题15圆的有关计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用） 专题15圆的有关计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点 考查年份 考查频率 圆的有关计算与证明问题（大题） 2013.2014.2015.2016.2017 2018.2019.2020.2021.2022 十年10考 圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在北京市的2013-2022年10年中考中出现了10次，常见的圆的基础知识和解题技巧如下： 1、圆中的重要定理: (1)圆的定义: 主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题. (2)垂径定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论 : 主要用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理: 主要用来证明垂直关系 . (6)切线的判断定理: 主要用来证明直线是圆的切线 . (7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等 . 2.圆中几个要点元素之间的相互转变 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变 . 这在圆中的证明和计算中常常用到 . 3.判断切线的方法： （ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。 常有手法有： 全等转变； 平行转变； 直径转变； 中线转变等； 有时可经过计算联合相像、 勾股定理证垂直； （ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。 常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线； 4、考题形式剖析： 主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要判断切线、证明角或线段相等；第2 问主要与圆有关的计算： ①求线段长（或面积） ；②求线段比；③求角度的三角函数值（本质仍是求线段比） 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 【例2】（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2013·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长． 2．（2014·北京·中考真题）如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接. （1）求证：； （2）若，求的长. 3．（2015·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （l）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 4．（2016·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路． 5．（2017·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB=DE; （2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径. 6．（2018·北京·中考真题）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，． （1）求证：； （2）连接，，若，，，求的长． 7．（2019·北京·中考真题）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD=CD； （2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数． 8．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优 一、解答题 1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作的切线，分别交的延长线于点F，G连接AE，交CD于点P