专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲 1. 两个不等式 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【题型1 对基本不等式的理解】 【方法点拨】 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可． 【解答过程】解：因为， 所以，故①错误； 当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误； 因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2， 所以，故③正确． 故选：C． 【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号， 又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误， 2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误， 故选：A． 【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　） A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D． 【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2， 所以ab≤（）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误； 因为（）2＝a+b+22+22+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以2，B错误； 因为1，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以a2+b2≥2，C正确； （）（2）2，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误． 故选：C． 【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（　　） A． B． C．ab的最大值是 D．a2+b2的最小值是 【解题思路】结合基本不等式，对选项逐一判断即可． 【解答过程】解：根据题意，a＝1﹣2b＞0，b＞0，则0＜b，所以选项A正确； 2a+4b≥222，当且仅当a＝2b，即a，b时等号成立， 所以2a+4b≥2，选项B正确； 由a＞0，b＞0，1＝a+2b≥2，即ab，当且仅当a＝2b，即a，b时等号成立， 所以ab的最大值是，选项C正确； 由a+2b＝1，得a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1， 所以当b时，a2+b2有最小值5×（）2﹣41，所以选项D错误． 故选：D． 【题型2 利用基本不等式证明不等式】 【方法点拨】 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为 “积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等 式的形式． 【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：． 【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成a+b，由基本不等式即可证明． 【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1 ∴ ＝5 当且仅当，即a＝b时取“＝”号． 故原题得证． 【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x，y，求证： （1）xy≥ab； （2）x+y≤a+b． 【解题思路】（1）利用基本不等式的性质即可得出． （2）通过平方作差利用乘法公式即可得出． 【解答过程】证明：（1）∵a，b∈R+，x，y， ∴xyab，当且仅当a＝b时取等号． （2）∵a，b∈R+，x+y， 则（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2， 而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4， ∴（a+b）2， ∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0， ∴a+b≥x+y． 【