专题13 基本作图及计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用） 专题13基本作图及计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点 考查年份 考查频率 基本作图 2013.2014.2015.2016.2017 2018.2019.2020.2021.2020 十年10考 初中阶段常见的基本作图有： 1. 作一条线段的和、差 2. 作一个角等于已知角、尺规作角的和与差 3. 作角平分线 4. 作垂线、线段的垂直平分线 5. 作全等三角形、等腰三角形 6. 过员外一点作圆的切线 7. 作正多边形 8. 格点作图 9. 旋转、平移、对称作图 10. 相似与位似作图 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 【例2】（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在△ABC中，BA＝　 　，D是CA的中点， ∴CA⊥DB（ 　 　）（填推理的依据）． ∵直线DB表示的方向为东西方向， ∴直线CA表示的方向为南北方向． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是 　 　． 2．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ． 所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是 　 　． 3．（2015•北京）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是 　 　． 4．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点； ②连接BP． 线段BP就是所求作的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP＝　 　． ∵AB＝AC， ∴点B在⊙A上． 又∵点C，P都在⊙A上， ∴∠BPC＝∠BAC（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ABP＝∠BAC． 5．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数． 6．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图， ①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B； ②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q； ③作直线PQ．所以直线PQ就是