1.2.4 圆与圆的位置关系-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法． 教学难点：用坐标法探求圆与圆位置关系的过程． 核心素养：通过判定圆与圆的位置关系及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 知识点　　圆与圆的位置关系 (1)平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系： ①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外离(如图1)． ②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外切(如图2)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． ③两个圆有两个公共点，此时叫作这两个圆相交(如图3)． ④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内切(如图4)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． 两个圆外切和内切统称两个圆相切． ⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内含(图5)． (2)当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情况(重合时两个圆被看成一个圆)． (3)如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的连心线．两个圆心之间的线段长叫作圆心距． (4)两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系： 两个圆外离⇔d>r1＋r2； 两个圆外切⇔d＝r1＋r2； 两个圆相交⇔|r1－r2|<d<r1＋r2； 两个圆内切⇔d＝|r1－r2|； 两个圆内含⇔d<|r1－r2|. 1．圆与圆的位置关系 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题． 2．两圆相切 处理两圆相切问题的两个步骤： (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题． 3．两圆相交 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再在其中一个圆内利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 4．圆系方程 (1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线． (2)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 (2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________. (3)已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________. (4)已知两圆的半径分别为1和5，若两圆相交，则圆心距d的取值范围是________. 答案　(1)B　(2)x＋3y＝0　(3)(1,3)　(4)(4,6) 题型一 圆与圆的位置关系的判定 例1　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y