2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

4.1　直线与圆锥曲线的交点 (教师独具内容) 课程标准：理解直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握判断方法． 教学重点：通过类比直线和圆的位置关系，学会判断直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系． 教学难点：几何图形和代数方程的相互转化． 核心素养：通过学习直线与圆锥曲线的交点问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 知识点　直线与圆锥曲线的位置关系 (1)判断方法 ①代数法：将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究． ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与 椭圆 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与抛 物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与双 曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 ②几何法：这种用数形结合的方法可以迅速判断某些直线与圆锥曲线的位置关系．尤其是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时，灵活利用直线与渐近线的位置关系可以快速解题． (2)直线与圆锥曲线相切：一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切. (3)直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件． 与圆锥曲线的切线有关的直线方程 椭圆 抛物线 双曲线 圆锥曲线的方程 ＋＝1 (a>b>0) y2＝2px(p>0) －＝1 (a>0，b>0) 曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程 ＋＝1 y0y＝p(x＋x0) －＝1 从曲线外一点P(x0，y0)所引的两条切线的切点弦方程 ＋＝1 y0y＝p(x＋x0) －＝1 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　　) (2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．(　　) (3)直线y＝x与双曲线x2－y2＝1有一个公共点．(　　) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为________. (2)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________. (3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________. 答案　(1)1或0　(2)　(3) 题型一　直线与椭圆的交点问题 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围． [跟踪训练1]　若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围． 解　把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立， 消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0， 解得－<m<. 故m的取值范围为(－，). 题型二　直线与抛物线的交点问题 例2　已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点