2.2.2 双曲线的简单几何性质-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 核心素养：通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养. 知识点　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图象 性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c关系 c2＝a2＋b2 范围 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 1．对双曲线的几何性质的五点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a. (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为c>a>0，所以e>1，则＝＝＝，这说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． (4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个． (5)双曲线上的所有点中，到焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 2．双曲线的渐近线及其求法 渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得： 将－＝1(a>0，b>0)中的“1”换为0即得双曲线的渐近线方程－＝0，即±＝0，即y＝±x. 注意：与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可以设为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　) (2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　) (3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)已知点(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________. (2)已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________. (3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________. 答案　(1)　(2)2　(3) 题型一　双曲线的几何性质 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x. 作出草图如图： 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a，2b为邻边的矩形的对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的近似图形． [跟踪训练1]　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程． 解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝ ＝＝5， 所以焦点坐标为(0，－5)，(0，5)，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x. 题型二　由双曲线的几何性质求标准方程 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x. [解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝