第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

2.2　双曲线的简单几何性质 情境导入 课程标准 　　凉水塔的纵切面是双曲线,双曲线是非常优美的曲线,也是我们在生产生活中经常用到的曲线,因此,我们有必要探究其有怎样的特性。 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质。 2.能够利用双曲线的标准方程画出双曲线的图形。 3.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法。 自主预习明新知 双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性质 图象 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 性质 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b; 实半轴长:a,虚半轴长:b 离心率 e=∈(1,+∞) 渐近线 y=±x y=±x 微思考 1.为什么双曲线关于x轴、y轴和原点都对称? 提示:在双曲线的方程-=1(a>0,b>0)中,以-y代替y,方程不变,所以双曲线关于x轴对称;以-x代替x,方程不变,所以双曲线关于y轴对称;同时以-y代替y,以-x代替x,方程不变,所以双曲线关于原点对称。 2.双曲线的离心率对曲线形状有何影响? 提示:以双曲线-=1(a>0,b>0)为例。e===,故当的值越大,渐近线y=x的斜率越大,双曲线的张口越大,e也越大,所以e反映了双曲线张口的大小,即双曲线的离心率越大,它的张口就越大。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　双曲线的简单几何性质 　　【例1】　求双曲线25y2-4x2+100=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。 解　双曲线的方程25y2-4x2+100=0可化为-=1,所以焦点在x轴上,a2=25,b2=4,因此实半轴长a=5,虚半轴长b=2,顶点坐标为(-5,0),(5,0)。由c==,得焦点坐标为(,0),(-,0)。离心率e==,渐近线方程y=±x。 　　(1)已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质。(2)求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错。 【变式训练】　(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 (D) A.2 B.2 C.4 D.4 解析　双曲线方程可变形为-=1,所以a2=8,a=2,故实轴长2a=4。故选D。 (2)双曲线-=1的渐近线方程是 (C) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析　因为a2=4,b2=9,焦点在x轴上。所以渐近线方程为y=±x=±x。故选C。 类型二　利用几何性质求双曲线的标准方程 　　【例2】　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)一个焦点为(0,13),且离心率为; (2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3)。 解　(1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=,所以a=5,b==12,故其标准方程为-=1。 (2)解法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=　①。因为A(2,-3)在双曲线上,所以-=1　②。联立①②,无解。若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=　③。因为A(2,-3)在双曲线上,所以-=1　④。联立③④,解得a2=8,b2=32。所以所求双曲线的标准方程为-=1。 解法二:由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为A(2,-3)在双曲线上,所以-(-3)2=λ,即λ=-8。所以所求双曲线的标准方程为-=1。 　　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可,当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0)。当双曲线的渐近线方程为y=±x时,可以将方程设为-=λ(λ≠0)。 【变式训练】　根据条件,分别求双曲线的标准方程。 (1)与双曲线-=1有共同渐近线,且过点(-3,2); (2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2)。 解　(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),由题意可知-=λ,解得λ=。所以所求双曲线的标准方程为-=1。 (2)设所求双曲线方程为-=1(16-k>0,4+k>0)