2.2双曲线的简单几何性质 学案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

驻马店高级中学 我努力 我骄傲 我自豪 【课时安排】2个课时 【学习目标】 基础性目标 1.我可以掌握双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.我可以理解离心率的定义. 拓展性目标 3.我能掌握焦半径通径的取值范围和渐近线方程. 4.我能掌握双曲线的常用结论. 挑战性目标 5. 我会利用双曲线标准方程中a，b，c，e 间的关系解决问题. 6.我会应用数形结合解决问题. 【学习重难点】 重点：掌握双曲线的简单性质，理解离心率的定义. 难点：结合双曲线的相关性质解决双曲线问题. 【学法建议】 【学习过程】 （一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第 页，完成课本例题和练习后，思考并回答下列问题（写出答案） （2） 在课本上圈出并记录预习发现的问题。 问题1：类比椭圆的性质你能总结出双曲线的哪些性质？ 问题2：双曲线的离心率在双曲线中的地位？ 问题3：双曲线的标准方程和渐近线方程之间的关系？ （2） 预习自测 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点坐标 实轴和虚轴 渐近线 离心率 1.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　　) 2.双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.(　　) 3.双曲线4y^2−9x^2＝-36的虚轴长为4.(　　) 4.平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点.(　　) 【学习任务1】题型一 由双曲线方程研究其性质 【例1】　(1)若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　) A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 (2)双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________． 【课堂评价1】求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【反思总结】由双曲线的方程研究其性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质． 【学习任务2】题型二 由双曲线的简单性质求标准方程 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． 【课堂评价2】　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； 【反思总结】1.待定系数法求双曲线的标准方程 先定形 ，再定量.即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线方程之间的关系，求出a，b的值 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧 ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． ③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 【学习任务3】题型三 与双曲线有关的离心率问题 命题角度1　求双曲线离心率的值 例3　设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D．3 引申探究 若本例条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？ 【课堂评价3】双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.求双曲线的离心率． 【反思总结】求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a，c，再计算e＝. (2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解． 命题角度2　求双曲线离心率的取值范围 例4　已知F1，F2是双曲线－＝1(a，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△