专题5-2 向量线性运算及四心综合归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题5-2 向量线性运算及四心综合归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】基底就是坐标轴 1 【题型二】基底拆分：绕三角形 4 【题型三】基底拆分：待定系数型 6 【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型 8 【题型五】基底拆分：求最值型 10 【题型六】三角换元型 13 【题型七】等和线型 16 【题型八】极化恒等式 19 【题型九】奔驰定理 21 【题型十】四心与向量1：重心 23 【题型十一】四心与向量2：外心 25 【题型十二】四心与向量3：内心 27 【题型十三】四心与向量4：垂心 29 【题型十四】向量点落在区域内 31 【题型十五】向量超难压轴小题 34 二、真题再现 37 三、模拟检测 43 【题型一】基底就是坐标轴 【典例分析】 ．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，为边的延长线上一点，且，记，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用的向量的线性运算可得，即可得解. 【详解】 方法一：基础拆解法：， 故选：A. 方法二：坐标轴法，由题意可得如图,显然再第二象限，所以系数是（-，+）且y方向分向量的模大于1，故选S 【提分秘籍】 基本规律 在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等. 在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为，点是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记为.若点、是斜坐标系（）中任意两点. 【变式演练】 1.（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：基础 解法 因为在平行四边形中，点、分别满足，， 所以，， 所以．故选：A 方法二：坐标轴法. 如图，建立坐标系。则,显然处于第四象限，坐标是（+，—），分向量的模都小于1，并且x分向量的模小于1/2，故答案是A 2.（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在中，，，则（       ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解． 【详解】解： 方法一：基础解法 在中，，则∴，又， ，，，故选：A． 方法二：坐标轴法 如图，作坐标轴平行线，可得E为三等分点（近C），F为三等分点（近A），故m为1/3,n为2/3,所以答案为A 【题型二】基底拆分：绕三角形 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】 方法一：因为，所以， 所以.。故选：C. 方法二：绕三角形法 【提分秘籍】 基本规律 一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把这个简化为“绕三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角形法则来推导。 。。。三角形法则→共线（拉长或者缩短）→三角形法则→共线（拉长或者缩短）。。。。周期反复，一直到推导为基底。 【变式演练】 1.．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 故选：B. 2.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】． 故选：B. 3.在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ） A． B． C． D． 山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)考试数学（理)试题 【答案】B 【分析】 根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。 【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得 因为G为△ABC的重心，M满足所以， 所以 所以选B 【题型三】基底拆分：待定系数型 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数（       ） A． B． C