专题5-1 向量模、夹角与坐标运算-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题5-1 向量模、夹角投影与坐标运算 目录 一、热点题型归纳 【题型一】向量夹角1：坐标运算 1 【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 3 【题型三】向量夹角3：模 4 【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角 6 【题型五】投影 7 【题型六】模与数量积 9 【题型七】范围最值 11 二、真题再现 12 三、模拟检测 16 综述： 1.模公式： 。 2.平面向量数量积公式： （1）。 （2）。 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2）求投影， 在 上的投影是； （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 【题型一】向量夹角1：坐标运算 【典例分析】 （2022·福建南平·高三期末）设向量，，则与的夹角等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用向量的夹角公式求解即可 【详解】设与的夹角为，因为，，所以， 因为，所以，故选：A 【提分秘籍】 基本规律 两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角. 说明： ①当时，与同向； ②当时，与反向； ③当时，与垂直，记； 【变式演练】 1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量与向量的夹角为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系，即得解 【详解】由题意， 又 故选：D 2.（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可 【详解】设向量与的夹角为，因为，，且， 所以，得，所以， 所以，因为，所以，故选：A 3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角大小为（       ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果. 【详解】向量，向量， ， ，且， 的夹角为.故选：D. 【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 【典例分析】 （2023·全国·高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由且与不共线求解即可. 【详解】由题意知，且与不共线，且，解得． 故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 用坐标或者数量积求解夹角锐钝时，要注意向量共线（同向或者反向） 【变式演练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由且与不共线结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且. 故选：D. 2.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据与的夹角为锐角求出的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案. 【详解】当与的夹角为锐角时，且与不共线， 即，∴且， ∴“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B. 3.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得或， 当与共线时， ，， ， 此时和反向，不满足题意， 故x的范围为；故选：D. 【题型三】向量夹角3：模 【典例分析】 （2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果. 【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以， 所以，得，因为非零向量，满足， 所以，因为，所以，故选：C 【提分秘籍】 基本规律 .。 【变式演练】 1.（2022·浙江·高三开学考试）已知向量满足，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得. 【详解】，， 又，，，设与的夹角为， ，从而，所以与的夹角.故选：C 2.（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得到数量积为0，得到，然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小 【详解】因为，所以，所以， 所以=，结合，所以与的夹角为，故选：B． 3.（2023·全国·高三专题练习