第10讲 恒成立能成立问题-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第10讲 恒成立能成立3种常见题型 【考点分析】 考点一：恒成立问题 若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 考点二：存在性问题 若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 考点三：双变量问题 ①对于任意的，总存在，使得； ②对于任意的，总存在，使得； ③若存在，对于任意的，使得； ④若存在，对于任意的，使得； ⑤对于任意的，使得； ⑥对于任意的，使得； ⑦若存在，总存在，使得 ⑧若存在，总存在，使得． 【题型目录】 题型一：利用导数研究恒成立问题 题型二：利用导数研究存在性问题 题型三：利用导数处理恒成立与有解问题 【典型例题】 题型一：利用导数研究恒成立问题 【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，其中，则， ，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，，. 故选：B. 【例2】【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； 【答案】(1) 【解析】(1)的定义域为， 令,得 当单调递减，当单调递增， 若,则,即，所以的取值范围为 【例3】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可. 【详解】解：（1）由已知定义域为， 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立； 当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立； 若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立. 所以综上所述：. 【例4】已知函数（是正常数）. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若，，求的取值范围； 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解； 【详解】 解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值. （2）因为，，即恒成立，即. 设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即. 【例5】已知函数 （1）求的极值点； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）是的极小值点，无极大值点；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用导数研究函数的极值点. （2）由题设知：在上恒成立，构造并应用导数研究单调性求最小值，即可求的范围． 【详解】 （1）由题设，， ∴时，，单调递减；时，，单调递增减； ∴是的极小值点，无极大值点. （2）由题设，对恒成立，即在上恒成立， 令，则， ∴时，，递减；时，，递增； ∴，故. 【题型专练】 1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得. 【详解】 由题可得在区间上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 所以， 所以. 故选：D. 2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值是，无极大值. (2) 【解析】 【分析】 （1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值. （2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围. (1) 当时，，的定义域为，，则. 令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值且为，无极大值. (2) 对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 令，，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则. 实数a的取值范围为：. 3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，. (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答