专题2.3 一元二次方程与韦达定理（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.3 一元二次方程与韦达定理 【例题精讲】 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，，且，求的值． 【解答】（1）证明：△ ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 已知，且．则　1　． 【解答】解：，且， 、可看作方程的两实数根， ， ． 故答案为1． 一元二次方程的根，分别满足以下条件，求出实数的对应范围． （1）两个根同为正根； （2）两个根均大于1； （3）． 【解答】解：根据题意知，，， （1）根据题意知，． 解得； 即两个根同为正根时，实数的对应范围是； （2）设，则根据方程的2个根均大于1， 可得， 解得， 即当两个根均大于1时，实数的对应范围是； （3）， ， 联立得到：，． ， ． 整理，得， 解得． △， 或， 或都符合题意． 故实数的值为． 【题组训练】 一．韦达定理的直接应用 1．设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．2018 B． C．2020 D． 【解答】解：根据题意得，， 所以． 故选：． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【解答】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 3．若方程的两个实数根为、，则值为　　 A． B．3 C．7 D．9 【解答】解：方程的两个实数根为、， ，， 则 ． 故选：． 4．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　 A．4 B． C． D．2 【解答】解：根据题意得，， 则， 故选：． 5．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　 A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 【解答】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 6．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根，，满足．求的值． 【解答】（1）证明：△ ， 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出，， ， ， ， ， 解得． 8．关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 的取值范围为； （2），是关于的一元二次方程的两个解， ，． ， 时，的最大值为． 9．已知关于的方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根，，当时，求出的值． 【解答】（1）证明：①当时，方程为，是一元一次方程，有实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 关于的方程中，△， 无论为何实数，方程总有实数根． （2）解：如果方程的两个实数根，，则，， ， ， 解得． 故的值是或2． 10．关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 的取值范围为； （2），是关于的一元二次方程的两个解， ，． ， 时，的最大值为． 二．用韦达定理构造一元二次方程 11．请写出一个以和为根的一元二次方程 　　． 【解答】解：设的两根分别是和， ，， ，， 方程为， 故答案为：． 12．写出一个以3和为根的一元二次方程是 　　． 【解答】解：，， 以和7为根的一元二次方程可以为． 故答案为：． 13．已知实数，满足，，且，且的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：方法， ， 方程两边同时除以，可得， 又， 、是方程的两实根， ，， ． 方法 ． 故选：． 14．如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于　　 A．2 B． C． D．6 【解答】解：，是两个不相等实数，且满足，， ，是方程的两个不相等的实数根， 则，， ， 故选：． 15．已知，，且，则　　． 【解答】解：根据题意得：，就是方程的两根 则 故本题的答案为． 16．已知实数，满足等式，，则的值是　或或　． 【解答】解：因为实数，满足等式，， （1）当或时，原式或； （2）当时，可以把，看作是方程的两个根． 由根与系数的关系，得，． 则原式． 故填空答案：或或． 17．若，，且，，则　　． 【解答】解：，，且， 和是方程的两个根， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．已知，，且，则的值为　3　． 【解答】解：， ， 方程两边同时除以，再乘变形为， ， 和可看作方程的两根， ， ． 故答案为：3． 19．若，且有，，则　　． 【解答】解：由得， 又，所以得到与都为的两根， 根据根与系数的关系得到：， 所以 则； 故答案为：． 三．根的分布情