专题2.2 一元二次方程与三角形边长问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.2 一元二次方程与三角形边长问题 【例题精讲】 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【解答】（1）证明：△， ，即△， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：等腰三角形一腰长为5， 另外一边长度为5， 方程一个根为5， ， 解得， 方程为， ， 解得，， 故的周长． 【题组训练】 1．等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　 A．5 B．9 C．8或9 D．5或9 【解答】解：当5为腰长时，将代入，得：， 解得：， 当时，原方程为， 解得：，， ， 符合题意； 当5为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， △， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， ， 符合题意． 的值为5或9． 故选：． 2．已知，，4是等腰三角形的三边长，且，是关于的方程的两个实数根，则的值是　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：①当腰长为4时，把代入原方程得， ， 原方程变为：， 解得，， 能构成三角形； ②当底边为4时，那么的方程的两根是相等的， △， ， 方程变为， 方程的两根相等为， 能构成三角形； 综上，的值是2或3， 故选：． 3．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　 A．21 B．25 C．21或25 D．20或24 【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：， 解得：， 当时，原方程为， 解得：，， ， 不符合题意； 当3为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， △， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， ， 符合题意． 的值为25． 故选． 4．等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为　　 A．15 B．24 C．15或24 D．22或24 【解答】解：当2为底边长时，则，， ． ，5，2能围成三角形， ， 解得：； 当2为腰长时，、中有一个为2，则另一个为8， ，2，2不能围成三角形， 此种情况不存在． 故选：． 5．已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　 A．7 B．7或6 C．6或 D．6 【解答】解：、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， 当或时，即， 方程为， 解得：， 当时，即△， 解得：， 综上所述，的值等于6或7， 故选：． 6．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为　　 A．7 B．8 C．4 D．7或8 【解答】解：一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程的两个根， ①当腰长为4时，把代入原方程得 ， ， 原方程变为：， 设方程的另一个根为， 则， ， 能构成三角形； ②当底边为4时，那么的方程的两根是相等的， △， ， 方程变为， 方程的两根相等为， 能构成三角形． 综上，的值是7或8， 故选：． 7．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是　　 A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25 【解答】解：设底边为， 分为两种情况：①当腰长是4时，则， 解得：， 即此时底边为6， ②底边为4，， 解得， 所以该等腰三角形的周长是14． 故选：． 8．等腰三角形边长分别为，，2，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为　　 A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 【解答】解：三角形是等腰三角形， ①，或；②两种情况， ①当，或时， ，是关于的一元二次方程的两个根， ， 把代入得，， 解得：， 当，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故不合题意， ②当时，方程有两个相等的实数根， △ 解得：． 故选：． 9．已知等腰三角形的边长分别是，，4，且，是关于的方程的两根，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．7或8 【解答】解：①当时， ，是关于的方程的两根， △， 解得，， 关于的方程为， 解得：， ， ，，4为边能组成三角形； ②或时， 是关于的方程的根， ， 解得：， 关于的方程为， 解得：，， ， ，，4为边能组成三角形； 综上所述：的值为7或8． 故选：． 10．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为　　 A．10 B． C．10或 D． 【解答】解：当5为腰长时，将代入原方程得， 解得：， 原方程为， ，， 长度为2，5，5的三条边能围成三角形， 符合题意； 当5为底边长时，△， 解得：， 原方程为， ， 长度为，，5的三条边能围成三角形， 符合题意； 综上，的值为10或， 故选：． 11．已知、、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　 A．1