专题2.4 一元二次方程与动点问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.4 一元二次方程与动点问题 【例题精讲】 如图所示，在中．，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积为． （2）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于． （3）在（1）中的面积能否等于？说明理由． 【解答】解：（1）设秒后，的面积为，此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或（舍去）． 当时，，说明此时点越过点，不合要求，舍去． 答：1秒后的面积为． （2）由，得， 整理得， 解方程得：（舍去），． 所以2秒后的长度等于； （3）不可能． 设，整理得， ， 方程没有实数根， 所以的面积为的面积不可能等于． 【题组训练】 1．在中，，，，动点从点沿线段向点移动，一动点从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：． 2．如图所示，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动．当，两点从出发开始几秒时，点和点的距离是．　　（若一点到达终点，另一点也随之停止运动） A．或 B．或 C． D．或 【解答】解：设当、两点从出发开始秒时，点和点的距离是， 此时，， 根据题意得：， 解得：，． 答：当、两点从出发开始到2秒或秒时，点和点的距离是． 故选：． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则 　2或3　秒时，的面积是． 【解答】解：设运动时间为 秒，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 4．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是，则经过 　10　后，，两点之间相距． 【解答】解：设秒后、两点相距， 则，， 由题意得，， 解得，，（舍去）， 则10秒后、两点相距． 故答案是：10． 5．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动 　2　秒时，的面积是面积的． 【解答】解：，， ， 整理得， 解得． 即：运动2秒时的面积为面积的． 故答案是：2． 6．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过　3　秒钟的面积等于面积的． 【解答】解：根据题意，知，． 的面积等于面积的， 则根据三角形的面积公式，得， ， ， 解得． 故经过3秒钟的面积等于面积的． 故答案是：3． 7．在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒，当为　2或或　时，为直角三角形． 【解答】解：作于点，在中， ， ， ， ， 点， 又，， 根据勾股定理可得：，，， ①若，则有， 即：， 整理得：， 解得：（舍去），， ， ②若，则有， ， 整理得：， 解得：． 当或或时，为直角三角形． 故答案为：2或或． 8．如图，在中，，、的长恰好为方程的两根，且． （1）求的值． （2）动点从点出发，沿的路线向点运动（不包括端点）；点从点出发，沿的路线向点运动（不包括端点）．若点、同时出发，速度都为每秒2个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒，在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式；并指出自变量的取值范围和的范围． 【解答】解：（1）、的长为方程的两根， ， 又， ，， ； （2）作，垂足为， ， ． ， ， ，即， 解得， ， 当时，． 9．已知：如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当到达点时，点、同时停止移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积为？ （2）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的长度为？ 【解答】解：当运动时间为时，，，． （1）依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：后，的面积为． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：后，的长度为． 10．如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，，两点的距离是？ 【解答】解：设经过秒后，，两点的距离是， 根据题意，