第16讲 圆锥曲线综合-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第16讲 圆锥曲线综合 【考点梳理】 1．抛物线的标准方程 【知识点的认识】 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x＝﹣ y＝﹣ 2．抛物线的性质 【知识点的认识】 抛物线的简单性质： 3．双曲线的性质 【知识点的认识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±＝0 ±＝0 4．曲线与方程 【曲线与方程】 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系． 【例题解析】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（　　） A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支． 解：对定点B分类讨论： ①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|． 由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆． ②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|． 由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支． ③若定点B与圆心A重合，如图3所示： 设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件， 因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆． ④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B． 综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线． 故选A． 这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题． 【考点点评】 这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可． 5．圆锥曲线的共同特征 【知识点的认识】 圆锥曲线的共同特征： 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线． 6．直线与圆锥曲线的综合 【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解． 【实例解析】 例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率． （1）求圆锥曲线C的方程； （2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数． 解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0）， ∴c＝1， ∵， ∴a＝2， ∴，