第36讲 等比数列及其前n项和-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第36讲　等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. · 考点1 等比数列基本量的运算 [名师点睛] 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. [典例]　 1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（     ） A．20 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案. 【详解】设的公比为q，则， 解得，所以， 故选：C． 2．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】由等比数列的求和公式可得，解得. 故选：D. 3．（2022·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______ 【答案】-1 【分析】先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案 【详解】因为是等比数列，设的公比为， 若时， 由可得， 整理得，因为，所以即， 解得(舍去)或，因为，所以， 若时，，，所以舍去， 综上所述，， 故答案为：-1 [举一反三]　 1．（2022·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（       ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】本题考查等比数列得基本量得运算，根据可求得，再由分析得． 【详解】∵，则，即 又∵，即，则且 ∴ 则 故选：A． 2．（2022·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解 【详解】，则 又因为，所以 所以为等比数列 当时，；当时， 故选：C 3．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由已知条件得 ，解得， ∴； 故答案为：. 4．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________. 【答案】5 【分析】根据，求得公比，再由求解. 【详解】解：在等比数列中，，， 所以，解得， 又， 即，解得， 故答案为：5 5．（2022·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________． 【答案】 【分析】利用对数运算转化已知条件，结合等比数列的基本量，即可求得公比. 【详解】，解得. 故答案为：. 6．（2022·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______． 【答案】 【分析】由已知解出公比，根据通项公式即可求解． 【详解】设等比数列的公比为q， 由已知， 即，解得，所以． 故答案为： · 考点2 等比数列的判定与证明 [名师点睛] 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证. [典例]　 1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记数列的前项和为，证明：． 【解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，，