第37讲 数列求和-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第37讲　数列求和 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. · 考点1 分组转化求和 [名师点睛] 1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}满足cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和. [典例]　 1．（2022·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（     ） A．171 B．278 C．351 D．395 【答案】C 【分析】通过得出数列隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案. 【详解】由，， 是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列， 是首项为3，公差为2的等差数列， . 故选：C. 2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解】(1)∵，① 当时，，即 当时，．② 由①－②得，即 ∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴ (2)由（1）知 ∴， ∴． [举一反三]　 1．（2022·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________. 【答案】36 【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得. 【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项， 且. 可算得（项），，， 因为，，，所以，，， 因此所求的最小值为36. 故答案为：36. 2．（2022·重庆八中模拟预测）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________. 【答案】36 【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得. 【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项， 且. 可算得（项），，， 因为，，，所以，，， 因此所求的最小值为36. 故答案为：36. · 考点2 裂项相消法求和 [名师点睛] 1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. [典例]　 1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列，满足，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用递推公式可以得到，结合已知递推公式可以求出数列的通项公式，再运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】因为，① 所以，② ①－②得，，所以， 而，适合上式，所以，， ， ∴. 故选：D． 2．（2022·河北衡水中学模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解】（1）当时，，故； 当时，，故， 故，则，又满足， ∴，. （2）由（1）可得：， 故. [举一反三]　 1．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知数列的通项公式为，则其前项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，然后可算出答案. 【详解】因为 所以其前项和为 故选：A 2．（2022·天津实验中学模拟预测）等比数列中，，，则数列的前2022项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，进而根据裂项求和法求解即可. 【详解】解：设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 所以，解得， 所以，， 所以， 所以数列的前2022项和为 故选：C 3．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）设是数列的前项和，若，，则数列的前99项和为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用两式作差，代入求出，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当时，，则， 即，则，从而， 故. 故选：． 4．（2022·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，