专题04 空间向量求异面直线、线面、面面角-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04:空间向量求异面直线、线面、面面角 考点一、空间向量求异面直线所成的角 1．在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法，利用条件可得点的轨迹方程，再利用圆的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆， 由圆的性质可得. 故选：A. 2．在正方体中，动点M在线段上，E，F分别为，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为，则的值可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量求异面直线的夹角，结合二次函数的性质求最值，得到的范围为，结合选项即可求解. 【详解】以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DA＝2，, 故，，．设，则， 则． 当时，取到最大值，此时，当时，取到最小值，此时， 所以的取值范围为, 故选:ABC． 3．在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用向量法求得直线与AC所成角的余弦值. 【详解】空间一组基底为， 设正方体的棱长为1，则，． ． 因为， 所以直线与AC所成角的余弦值为． 故答案为： 4．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】利用向量的数量积可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设，则，且. 而，而， 故 ， 故 故答案为：. 5．如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出两条直线的方向向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解. （1） 连接交于点,连接,因为四棱锥为正四棱锥， 所以四边形为正方形，所以为的中点，因为为棱的中点，所以,因为平面，平面， 所以平面. （2） 因为四棱锥为正四棱锥,所以为顶点在底面的射影， 所以平面，且,, 故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，则 , 因为上的点满足，所以, 设，则，所以 所以， 所以 设异面直线与所成角为，则 . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点二、空间向量求直线与平面所成的角 6．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，用向量法求出平面的法向量，即可由求所需正弦值 【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 设三棱柱的棱长为2，则，，所以．，， 设为平面的法向量，由，得，故，令，得． 设直线AD与平面所成的角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为． 故选：A 7．在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面角的最大值求出边长PC，将三棱锥补形成长方体，再确定外接球的半径，计算体积. 【详解】M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，． 在中，，则，解得． 将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为． 故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确； 故选：D. 8．在正三棱锥中，底面是边长为正三角形，是的中点，若直线和平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出直线和平面所成的角，求得三棱锥的高AF，进而得到关于三棱锥外接球半径的方程，进而求得三棱锥外接球的表面积 【详解】连接，AE，过A点作平面于，则落在上，且为的重心，所以为直线和底面所成的角，即. 因为的边长为，所以，. 设三棱锥外接球的球心为，外接球半径为，则在上，连接. 在中，，，，由勾股定理得， ，即， 解得. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 9．已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立