专题03 利用空间向量解决空间距离问题-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03：利用空间向量解决空间距离问题 考点一、点到直线的距离 1．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，，则点P到斜边AB的距离是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】构建空间直角坐标系确定、的坐标，利用空间向量坐标表示求点线距离. 【详解】以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A（4，0，0），B（0，3，0），， 所以，， 所以在上的投影为， 所以点P到斜边AB的距离． 故选：C 【点睛】 2．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______ 【答案】 【分析】首先以点为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式，列式，化简后求函数的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故答案为： 3．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.借助题设条件找出，，三点的坐标，最后利用点到直线距离的向量求法进行求解即可. 【详解】 连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即. 在菱形中，，， ，．设，则，．在中， 由，，可得， ，，，，， 点到直线的距离为. 故答案为：. 4．如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBC， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 . (1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离. 【答案】(1)存在，在平面内可以找到一点，使得直线CM平面PBE (2) 【分析】（1）先判断存在符合题意的点，再通过作辅助线找到该点，证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，通过已知的二面角度数，找到线段之间关系，从而确定相关点的坐标，然后利用向量的运算求得答案. （1） 延长交直线于点， 点为的中点，， ， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， 平