专题03 有理数的简便计算-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题3 有理数的简便计算 一、倒序相加法 【典例】 阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设s＝1+2+3+…+100，① 则s＝100+99+98+…+1，② ①+②，得2s＝101+101+101+…+101． （两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和） 所以2s＝100×101，s100×101＝5050③ 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　． （3）计算：101+102+103+…+2018． 【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①， 则s＝200+199+198+…+1②， ①+②，得2s＝201+201+201+…+201， 所以2s＝200×201，s200×201＝20100， 所以1+2+3+…+200＝20100； （2）猜想：1+2+3+…+nn（n+1）； 故答案为：n（n+1）； （3）s＝101+102+103+…+2018①， 则s＝2018+2017+2016+…+101②， ①+②，得2s＝2119+2119+2119+…+2119， 所以2s＝（2018﹣100）×2119，s1918×2119＝2032121， 所以101+102+103+…+2018＝2032121． 【巩固】 计算： 二、裂项相消 【学霸笔记】 形如可写成的形式，在分式的简便计算中常常有以下变形： ①； ②. 【典例】观察下面的变形规律： ，，，… 解答下面问题： （1）若n为正整数请你猜想　 　； （2）证明你猜想的结论； （3）利用这一规律化简：． （4）尝试完成．（直接写答案） 　． 【解答】解：（1）猜想：； 故答案为：； （2）等式右边左边，得证； （3）原式； （4）原式（）（）． 故答案为： 【巩固】计算下面各题 （1）计算： （2）计算：1． 三、利用图形进行简便计算 【典例】数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：1． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式1． 两边同除以2，得． 探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果） 第n次分割 所有阴影部分的面积之和为　 　； 最后的空白部分的面积是　 　； 根据第n次分割图可得等式　 　； 两边同除以　 　，得　 　； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式　 　， 所以　 　． 拓广应用：直接写出运算结果：． 【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示： 所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第n次分割图可得等式1； 两边同除以3，得； 故答案为：1，，式1，3，； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式，1， 所以． 故答案为：1，． 拓广应用：直接写出运算结果： ＝1111 ＝n﹣（） ＝n． 巩固练习 1．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019