上海实验学校2022-2023学年高三上学期开学考数学试题

上海实验学校2022-2023学年第一学期高三年级开学考数学试卷 一、填空题 1、若集合，集合，则 2、若复数（）的实部与虚部相等，则 3、若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 4、函数（）的值域为 5、已知，与的夹角为，则在上的数量投影为 6、已知为等差数列，其前n项和为，若，，，则 7、一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 8、有一组样本点、、、、，根据最小二乘法求得的回归方程为，则 9、已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 10、设随机变量X服从正态分布，若，则 11、已知圆，点，A、B为圆上两点且满足PA⊥PB，M为AB中点，且O、P、M构成三角形，记△OPM的面积为S，则S的最大值为 12、若，函数（）的值域为，则的取值范围是 二、选择题 13、若，且，则角的终边所在象限是第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14、已知，则的最小值为（ ） A. 50 B. 49 C. 25 D. 7 15、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）分钟 A. 11 B. 14 C. 15 D. 20 16、已知严格递增的正整数数列满足（），则下列结论中正确的有 （ ）个 （1）、、可能成等差数列； （2）、、可能成等比数列； （3）中任意三项不可能成等比数列； （4）当时，恒成立. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题 17、设，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）. 18、如图所示，在三棱锥中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上， ，，，. （1）证明△PBC为直角三角形； （2）求点A到平面PBC的距离. 19、已知双曲线，其右顶点为P. （1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l过点P，其法向量为，若在双曲线C上恰有三个点、、到直线l的距离均为d，求d的值. 20、已知函数. （1）当时，求在点的切线方程； （2）若在上存在单调减区间，求实数m的取值范围； （3）若在区间上存在极小值，求实数m的取值范围. 21、已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且， ，，数列的前n项和为，记点，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：点、、、、、在同一直线l上，并求出直线l的方程； （3）若对恒成立，求的最小值. 【解析版】上海实验学校2022-2023学年第一学期高三年级开学考数学试卷 一、填空题 1、若集合，集合，则 【答案】R 【解析】因为，， 所以，故答案为 2、若复数（）的实部与虚部相等，则 【答案】2 【解析】因为的实部与虚部相等，所以，即，故答案为2 3、若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 【答案】 【解析】设正三棱锥的的底面中心为，则，因为，，所以此三棱锥的体积为，故答案为 4、函数（）的值域为 【答案】 【解析】在区间单调递增，所以，故值域为， 故答案为 5、已知，与的夹角为，则在上的数量投影为 【答案】3 【解析】，与的夹角为，所以，所以在上的数量投影为 6、已知为等差数列，其前n项和为，若，，，则 【答案】8 【解析】设公差为，则，因为，所以，解得（舍负），故答案为8. 7、一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 【答案】0.88 【解析】“至少有一个公司不需要维护”的对立事件是“两公司都需要维护”，所以至少有一个公司不需要维护的概率为，故答案为0.88 8、有