专题17 【两年高考+一年模拟】解三角形综合题-备战2023年河北新高考数学真题模拟题分类汇编

专题17 解三角形综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），，． ， 化为：， ， ，， ， ，． （2）由（1）可得：，，，， 为钝角，，都为锐角，． ， ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 2．（2021•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：由正弦定理知，， ，， ，， 即， ， ； （2）法一：由（1）知， ，，， 在中，由余弦定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 即， 得， ， ， 或， 在中，由余弦定理知，， 当时，（舍； 当时，； 综上所述，． 法二：点在边上且， ， ， 而由（1）知， ， 即， 由余弦定理知：， ， ， ， 或， 在中，由余弦定理知，， 当时，（舍； 当时，； 综上所述，． 法三：在中，由正弦定理可知， 而由题意可知， 于是，从而或． 若，则，于是， 无法构成三角形，不合题意． 若，则， 于是，满足题意， 因此由余弦定理可得． 3．（2022•衡水模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】证明：由，得， ，， ，； ，，， ．， 由正弦定理有，， ， 当时，，； 的面积为． 4．（2022•沧州二模）在中；内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，点为的中点，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）． ， ， ， ，， （2）由为的中点得， 两边平方得，， 又由余弦定理得，当且仅当时取等号， 故， ，． 即的最大值3，所以的最大值． 5．（2022•衡水模拟）已知在中，角，，的对边分别是，，，函数图象的一条对称轴的方程为，角为函数的零点． （1）若，求面积的最大值； （2）若为边上一点，且的面积为8，角为锐角，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为图象的一条对称轴的方程为， 所以，化简得， 解得， 所以， 令，则，所以，， 因为角为函数的零点，且，所以， 由余弦定理知，， 所以，当且仅当时，等号成立，此时的最大值为1， 所以面积的， 故面积的最大值为． （2）因为的面积， 所以， 在中，由正弦定理