专题06 解三角形 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 解三角形 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 正弦定理和余弦定理（5年2考） 2023年已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理及辨析 2021年正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 填空题和解答题是主要考查形式，其中填空题侧重基础计算（如边长、角度），解答题则注重综合应用和逻辑推理。命题注重考查数学建模、逻辑推理和数学运算素养，逐渐从纯理论计算转向实际场景应用。解三角形常与向量、导数、解析几何等结合。 解三角形的实际应用（5年2考） 2024年余弦定理解三角形、角度测量问题、正弦定理解三角形 2022年正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 考点01 正弦定理和余弦定理 1．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理及辨析 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 故答案为:. 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题. 3．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 【答案】(1)1，； (2)﹒ 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． （2）∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 考点02 解三角形的实际应用 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、角度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 4．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接， ， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：连接， 因为曲线CMD上任一点到O距离相等， 所以， 因为P，Q关于OM对称， 所以， 设，则， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 所以五边形面积S的最大值为. 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可. 【详解】记，，，，，，，，，，，，． 对于A选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 在中，由，可确定； 在中，已知，由余弦定理可解三角形知， 再在中，由勾股定理，可确定； 再由直角梯形，结合勾股定理可得， 即可确定，故A正确； 对于C选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故C正确; 对于D选项：已知， 在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 由直角梯形，结合勾股定理可得，① 即可确定，故D正确； 对于B选项：已知，同C，D选项，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，② 联立①②，得解此关于的二元方程组， 可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如:若，得 解得或故B错误． 故选：B. 二、填空题 2．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 3．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 4．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 6．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 7．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 8．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 9．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 【答案】3 【分析】由已知结合余弦定理可得，设D为BC中点，可得，由，可得，计算可求解. 【详解】， 又， 则， 则， 设D为BC中点，则有， ∴， 由可得， ∴， 所以，所以，即 又，所以， 故． 故答案为：. 11．（2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，确定点的轨迹，借助圆的性质求出最大值. 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长. 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为. 故答案为：. 13．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 【答案】373 【分析】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 14．（2025·上海浦东新·模拟预测）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积 （结果精确到）； 【答案】 【分析】过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，， 由题意，， 因为为得中点，所以，又，所以，， 又，， 由正弦定理得，所以， 又，所以， ， 所以， 所以, 所以阴影部分面积为. 故答案为： 三、解答题 15．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即的面积最大值为. 16．（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 17．（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 18．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 19．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 正弦定理和余弦定理（5年2考） 2023年已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理及辨析 2021年正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 填空题和解答题是主要考查形式，其中填空题侧重基础计算（如边长、角度），解答题则注重综合应用和逻辑推理。命题注重考查数学建模、逻辑推理和数学运算素养，逐渐从纯理论计算转向实际场景应用。解三角形常与向量、导数、解析几何等结合。 解三角形的实际应用（5年2考） 2024年余弦定理解三角形、角度测量问题、正弦定理解三角形 2022年正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 考点01 正弦定理和余弦定理 1．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 3．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ (1)若，求b、c； (2)若，求c． 考点02 解三角形的实际应用 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 4．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 2．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 3．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 4．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 6．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 7．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 8．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 9．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 11．（2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 13．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 14．（2025·上海浦东新·模拟预测）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积 （结果精确到）； 三、解答题 15．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 16．（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 17．（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 18．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 19．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$