专题21 【两年高考+一年模拟】导数综合题-备战2023年河北新高考数学真题模拟题分类汇编

专题21 导数综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值． （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）定义域为， ， ， 若， 则，无最小值， 故， 当时，，当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 的定义域为， ， ， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在，上单调递增， 故， 函数和有相同的最小值 ， ， 化为， 令，， 则， ， 恒成立， 在上单调递增， 又（1）， （a）（1），仅有此一解， ． （2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为（1）， 所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点，，即， 因为，所以，即， 令得，解得或，由，得， 令得，解得或，由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】见解析 【详解】（1）解：由函数的解析式可得， ，，单调递增， ，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． （2）证明：由，得， 即， 由（1）在单调递增，在单调递减， 所以（1），且（e）， 令，， 则，为 的两根，其中． 不妨令，，则， 先证，即证，即证， 令， 则在单调递减， 所以（1）， 故函数在单调递增， （1）．，，得证． 同理，要证， （法一）即证， 根据（1）中单调性， 即证， 令，， 则，令， ，，单调递增， ，，，单调递减， 又时，，且（e）， 故， （1）（1）， 恒成立， 得证， （法二），， 又，故，， 故，， 令，，， 在上，，单调递增， 所以（e）， 即，所以，得证， 则． 3．