第十一章 三角形 知识梳理及例题分析

三角形　 第十一章　 三角形 11. 1　 与三角形有关的线段 知识点 三角形的相关概念 　 　 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形叫做三角形. 顶点是 A,B,C 的三角形,记作 △ABC,读作“三角形 ABC” . 知识点 三角形的分类 三角形的分类 按边分类 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形{ ì î í ï ï ï ï 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ì î í ï ï ï ï 知识点 三角形的三边关系 三边关系 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 符号表示 a+b>c,a+c>b,b+c>a;a-b<c,c-a<b,c-b<a. 图示 依据 两点之间,线段最短 知识点 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 定义 从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂 线,顶点和垂足之间的线段叫做对边上的高. 1 　 　 由三角形的定义可知,三 角形有三个特征:①三条线 段;②不在同一条直线上;③ 首尾顺次连接. 这是识别三角 形的依据. 　 　 用符号“△”时,其后必须 紧跟表示三角形三个顶点的 大写字母,不能单独使用. 如 “三角形的角”不能写成“△ 的角” . (1)若三角形的两边长为 a, b,则第三边长 c 的取值范 围是 | a-b | <c<a+b. (2)当两条较短线段之和大于 最长线段时,则可以组成 三角形. (3)证明线段间不等关系的方 法:常先构造三角形,把相 关线段尽可能地集中在一 个三角形中, 然后运用 “三角形任意两边的和大 于第三边”这一关系,得 出几个同向不等式,最后 通过变形得出结论. 三条高交 点的位置 锐角三角形的三条高交于三角形内部; 直角三角形的三条高交于直角顶点; 钝角三角形的三条高交于三角形外部. 图示 　 　 2. 三角形的中线 定义 连接三角形的一个顶点与它所对的边的中 点,所得线段叫做这条边上的中线. 性质 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条 中线的交点叫做三角形的重心. 图示 3. 三角形的角平分线 定义 在三角形中,一个内角的平分线与它的对边 相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做 三角形的角平分线. 性质 三角形的三条角平分线交于三角形内一点. 图示 知识点 三角形的稳定性 1. 只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和 大小就完全确定了. 也就是说,三角形具有稳定性. 2. 四边形不具有稳定性. 2 (1)三角形的高是线段. (2)画三角形的高时,一定要 明确画的是三角形哪一条 边上的高. (1)三角形的中线是线段. (2)三角形的一条中线把三角 形分成面积相等的两个三 角形. (3)三角形的重心到顶点的距 离与重心到对边中点的距 离之比为 2 ∶1. 三角形的角平分线是线 段,而角的平分线是射线. 三角形　 三角形三边关系的应用 例 1:已知在△ABC 中,AB = 4,BC = 7,则边 AC 的长可能 是(　 　 ) A. 2　 　 　 　 B. 3　 　 　 　 C. 4　 　 　 　 D. 11 【解析】在△ABC 中,AB = 4,BC = 7,则 7-4<AC<7+ 4,即 3<AC<11,∴ 边 AC 的长可能是 4. 答案:C 三角形的高、中线与角平分线 例 2:如图,在△ABC 中. (1)AD 是△ABC 的中线,则　 　 　 = 　 　 　 = 1 2 　 　 　 ; (2)AE 是△ABC 的角平分线,则∠　 　 　 = ∠　 　 　 = 1 2 　 　 　 ; (3)AF 是△ABC 的高线,则 AF　 　 　 BC,∠　 　 　 = ∠　 　 　 = 90°. 答案:(1)BD,DC,BC; (2)BAE,CAE,∠BAC; (3)⊥,AFB,AFC. 例 3:如图,在△ABC 中,AC 边上的高是(　 　 ) A. 线段 AD　 　 　 　 B. 线段 BE C. 线段 BF　 　 　 　 D. 线段 CF 答案:B 例 4:已知 AD 为△ABC 的中线,且 AB= 10 cm,AC= 8 cm, 则△ABD 与△ACD 的周长之差为(　 　 ) A. 2 cm　 　 　 B. 4 cm　 　 　 C. 6 cm　 　 　 D. 18 cm 【解析】根据三角形的中线的定义可得 BD = CD,然 3 判断一条线段是否为三 角形的高的方法: (1)看顶点. 三角形的高一定 过顶点. (2)看垂足. 三角形的高的垂 足在顶点的对边或对边延 长线上. 在一个三角形中,由中线 分割的两个三角形的周长之 差等于原三角形中除与这条 中线相对应的边外的两边之 差. 后求出△ABD 与△ACD 的周长之差=AB-AC=