第十二章 全等三角形 知识梳理及例题分析

第十二章　 全等三角形 12. 1　 全等三角形 知识点 全等三角形 1. 全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2. 全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形. 3. 全等三角形中的对应元素:把两个全等的三角形重合 到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应 边,重合的角叫做对应角. 4. 全等三角形的表示:全等用符号“≌”表示,读作“全等 于” . 记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上. 如△ABC 和△DEF 全等,记作 △ABC≌△DEF. 知识点 全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三 角形的对应角相等. 2. 【拓展】 (1)全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应 角的平分线对应相等. (2)全等三角形的周长相等. (3)全等三角形的面积相等. 判断全等形 例 1:下列各组中的两个图形属于全等图形的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 答案:A 01 (1)全等形的形状相同,大小 相等,与图形所在的位置 无关. (2)两个全等形的面积一定相 等,但面积相等的两个图 形不一定是全等形. (3)一个图形经过平移、翻折、 旋转后,位置变化了,但形 状、大小都没有改变,即平 移、翻折、旋转前后的图形 全等. 判断两个图形是不是全 等形,可以通过平移、翻折、旋 转等方法,将两个图形叠合在 一起观察是否完全重合. 全等三角形　 全等三角形的性质的应用 例 2:如图,△ABC≌△DEC,其中 BE = 3,AE = 4,则 DE 的 长是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【解析】∵ △ABC≌△DEC,∴ AB=DE. ∵ BE= 3,AE= 4,∴ AB=BE+AE= 7,∴ DE= 7. 答案:D 例 3:如图, △ABC≌ △DEC,点 E 在线段 AB 上, ∠B = 75°,则∠ACD 的度数为(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【解析】∵ △ABC≌△DEC,∴ ∠ACB = ∠DCE,BC = EC,∴ ∠ACB- ∠ACE = ∠DCE- ∠ACE,即∠BCE = ∠ACD,∠BEC = ∠B = 75°,∴ ∠BCE = 180° - ∠B - ∠BEC= 30°,∴ ∠ACD= 30°. 答案:C 全等三角形的性质的应用 变式:如图,点 D,E,F 分别在△ABC 的边 AB,BC,CA 上 (不与顶点重合),设∠BAC=α,∠FED= θ. 若△BED ≌△CFE,则 α,θ 满足的关系是(　 　 ) A. α+θ= 90° B. α+2θ= 180° C. α-θ= 90° D. 2α+θ= 180° 11 利用全等三角形的性质 求角的度数的方法:先利用全 等三角形的性质确定两个三 角形中角的对应关系,由这种 关系实现已知角和未知角之 间的转换,从而求出所要求的 角的度数. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 12. 2　 三角形全等的判定 知识点 全等三角形的判定方法 1. 判定方法 1:三边分别相等的两个三角形全等(可以简 写成“边边边”或“SSS”). 例:在△ABC 和△A′B′C′中, AB=A′B′, BC=B′C′, AC=A′C′, ì î í ï ï ï ï ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) . 2. 判定方法 2:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 例:在△ABC 和△A′B′C′中, AB=A′B′, ∠B= ∠B′, BC=B′C′, ì î í ï ï ï ï ∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS) . 3. 判定方法 3:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 例:在△ABC 和△A′B′C′中, ∠B= ∠B′, BC=B′C′, ∠C= ∠C′, ì î í ï ï ï ï ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA) . 4. 判定方法 4:两角分别相等且其中一组等角的对边相等 的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 21 书写时应注意: (1)两个三角形全等的条件应 按照判定方法对应的顺序 来写. (2) “≌”符号左右两侧式子 中对应顶点的顺序要保持 一致. 证明两个三角形全等时不要 忽略隐含的条件,(1)隐含的 边: