专题02 绝对值-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题2 绝对值 一、绝对值的化简 【学霸笔记】 1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下： ； 2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如：表示数a到原点的距离，表示数a与数b间的距离； 3. 绝对值的性质 ①；②；③；④；⑤ 【典例】 若a+b+c＝0，则的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【解答】解：∵a+b+c＝0， ∴a，b，c中两正一负或一正两负， 假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1； 假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1， 故选：B． 【巩固】 数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． （1）当a＝1时，求　 　，当b＝﹣2时，求　 　． （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． （3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|． 二、绝对值的非负性 【学霸笔记】 不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质： （1）非负数具有最小值0； （2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0； （3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数. 【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题： （1）abc＜0 （2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c| （3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0 （4）|a|＜1﹣bc 其中正确的命题有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1， （1）命题abc＜0正确； （2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c． 又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误； （3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确； （4）在命题中，|a|＜1，bc＜0， ∴1﹣bc＞1， 所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确． 所以正确的有命题①③④这三个． 故选：B． 【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：的值为 　 　． 三、绝对值的最值 【学霸笔记】 1. 的几何意义就是数轴上数a与数b两点间的距离； 2. 一般地，设分别是数轴上依次排列的表示有理数的点，若n为奇数，当时，的值最小；若n为偶数，当时，的值最小. 【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|． 理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是　　； （2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是　　； （3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是　　，最小值是　　； （4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5． 故答案为：5； （2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|． 故答案为：|x+5|； （3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4． 故答案为：﹣3≤x≤1，4； （4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和， ∴x≥4时有最大值1+1＝2． 【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （1）当x＝　　时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是　　． （2）当x＝　　时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是　　． （3）当整数x＝　 　时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是　 　． （4）当整数x＝　　时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是　　． （5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是　　；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是　　； （6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最　 　值（填“大”，