专题10 函数的奇偶性、周期性问题（讲义）-2022-2023学年高一数学高频考点讲练突破（人教版2019必修第一册）

专题10 函数的奇偶性、周期性问题 知识点一、函数的奇偶性 1 知识点二、函数的周期性 1 知识点三、奇偶性和周期性的常用结论 2 高频考点一 函数奇偶性的判定 3 高频考点二 函数奇偶性的应用 5 高频考点三 函数的周期性 8 高频考点四 函数性质的综合应用 11 知识点一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)是偶函数 关于____对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________，那么函数f(x)是奇函数 关于____对称 知识点二、函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个_____正数就叫做f(x)的最小正周期． 知识点三、奇偶性和周期性的常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 高频考点一 函数奇偶性的判定 【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数； f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。 (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月