主题二 第三章 第2节 第三课时 导数与不等式-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第三课时　导数与不等式 数学 考点一 利用导数证明不等式 关键能力·课堂突破 类分考点 落实四翼 角度一 构造函数证明不等式 证明:函数y=f(x)的图象在直线y=3(x-1)的上方,等价于不等式f(x)>3(x-1)恒成立.令g(x)=f(x)-3(x-1),即g(x)=xln x-2x+3(x>1). g′(x)=ln x-1,由g′(x)=0,得x=e. 由g′(x)>0,得x>e;由g′(x)<0,得1<x<e, 所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)在(1,+∞)上的最小值为g(e)=3-e>0. 于是在(1,+∞)上,都有g(x)≥g(e)>0,所以f(x)>3(x-1), 因此,当x>1时,函数y=f(x)的图象在直线y=3(x-1)的上方. 例1-1 已知函数f(x)=x+xln x. 证明:当x>1时,函数y=f(x)的图象在直线y=3(x-1)的上方. 数学 解题策略 证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以通过构造函数F(x)=f(x)-g(x).将问题转化为证明函数F(x)在x∈(a,b)上的最小值大于0,即证明了f(x)>g(x). 数学 角度二 转化为函数的最值问题 例1-2 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)当a<0时,求函数f(x)的单调性; 数学 例1-2 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. 数学 解题策略 将不等式转化为一个函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式.一般地,函数不等式的一边是与自变量无关的关系式时,常用此法. 数学 角度三 转化为两个函数的最值比较 数学 数学 解题策略 1.证明不等式问题中,若所证明的不等式的两边不能求最值或移项后也不能求最值,可利用移项变形构造两个函数,分别求出两个函数的最值,利用不等式的传递性证明. 数学 角度四 适当放缩证明不等式 例1-4 已知函数f(x)=aex-1-ln x-1.证明:当a≥1时,f(x)≥0. 证明:当a≥1时,aex-1≥ex-1.所以要证f(x)≥0,只要证ex-1-ln x-1≥0. 令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1, 当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0, 所以ex≥x+1,当且仅当x=0时,取等号. 同理可证ln x≤x-1,当且仅当x=1时,取等号. 由ex≥x+1得ex-1≥x,当且仅当x=1时,取等号. 由ln x≤x-1得-ln x≥-x+1,当且仅当x=1时,取等号. 所以ex-1-ln x≥1,所以ex-1-ln x-1≥0,所以当a≥1时,f(x)≥0. 数学 解题策略 导数法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式的结合问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,得到较为简单的不等式,然后再构造函数进行证明,常用的放缩公式是:(1)ex≥x+1,当且仅当x=0时,取等号;(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时,取等号,对于具体问题,要结合题目提供的具体条件寻找合适的不等式进行放缩. 数学 [针对训练] 1.已知函数f(x)=xln x.求证:f(x)<x2+x. 数学 2.已知函数f(x)=ex-asin x(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),0为f(x)的一个极值点. (1)求a的值; (1)解:f(x)的定义域为R,f′(x)=ex-acos x, 因为0为f(x)的一个极值点,可得f′(0)=e0-acos 0=0,解得a=1. 当a=1时,f(x)=ex-sin x,f′(x)=ex-cos x,f″(x)=ex+sin x, 由f″(0)=1>0知,存在x1<0,x2>0,当x∈(x1,x2)时,f″(x)>0, 所以f′(x)在x∈(x1,x2)上是增函数,又因为f′(0)=0, 所以当x∈(x1,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,x2)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(x1,0)上是减函数,在(0,x2)上是增函数, 所以x=0是f(x)的极值点,所以a=1. 数学 2.已知函数f(x)=ex-asin x(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),0为f(x)的一个极值点. (2)证明:f(x)>x成立. (2)证明:由(1)知,函数f(x)=ex-sin x, 由f(x)-x=ex-x-sin x,令g(x)=ex-x,