主题2 第3章 第2节 第三课时 导数与不等式-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第三课时　导数与不等式 利用导数证明不等式 　构造函数证明不等式 已知函数f(x)=x+xln x. 证明:当x>1时,函数y=f(x)的图像在直线y=3(x-1)的上方. 证明:函数y=f(x)的图像在直线y=3(x-1)的上方,等价于不等式f(x)>3(x-1)恒成立. 令g(x)=f(x)-3(x-1), 即g(x)=xln x-2x+3(x>1). g′(x)=ln x-1,由g′(x)=0,得x=e. 由g′(x)>0,得x>e;由g′(x)<0,得1<x<e, 所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)在(1,+∞)上的最小值为g(e)=3-e>0. 于是在(1,+∞)上,都有g(x)≥g(e)>0, 所以f(x)>3(x-1), 因此,当x>1时,函数y=f(x)的图像在直线y=3(x-1)的上方. 证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以通过构造函数F(x)=f(x)-g(x).将问题转化为证明函数F(x)在x∈(a,b)上的最小值大于0,即证明了f(x)>g(x). 　转化为函数的最值问题 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)当a<0时,求函数f(x)的单调性; (2)证明:当a<0时,f(x)≤--2. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+2a+1=. 若a<0,则当x∈(0,-)时,f′(x)>0;当x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减. (2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f(-)=ln(-)-1-,所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g′(x)=-1.当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0,所以当x>0时,g(x)≤0,从而当a<0时,ln(-)++1≤0,即f(x)≤--2. 将不等式转化为一个函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式.一般地,函数不等式的一边是与自变量无关的关系式时,常用此法. 　转化为两个函数的最值比较 已知f(x)=x2,g(x)=aln x(a>0). (1)求函数F(x)=f(x)g(x)的极值; (2)求证:当x>0时,ln x+->0. (1)解:已知f(x)=x2,g(x)=aln x(a>0),可得F(x)=f(x)g(x)= ax2ln x(x>0),所以F′(x)=axln x+ax=ax(ln x+). 由F′(x)=0得x=,由F′(x)>0得x>,由F′(x)<0,得0<x<, 所以F(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 所以F(x)极小值=F()=-,F(x)无极大值. (2)证明:当x>0时,ln x+->0等价于x2ln x>-,由(1)知F(x)=x2ln x的最小值为-,令R(x)=-(x>0),则R′(x)=-,令R′(x)=0得x=2,由R′(x)>0得0<x<2,由R′(x)<0得x>2,则函数R(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以R(x)max= R(2)=-,又--(-)=--=>0, 所以F(x)min>R(x)max,x2ln x>-,故当x>0时,ln x+->0成立. 1.证明不等式问题中,若所证明的不等式的两边不能求最值或移项后也不能求最值,可利用移项变形构造两个函数,分别求出两个函数的最值,利用不等式的传递性证明. 2.此类问题中的第一问常设计一个极值或最值问题,如本题中不等式ln x+->0,左边的函数的最小值无法求解,移项后变形为ln x> -后,左边的函数无最值,但是考虑到(1)的结论,可将原不等式等价变形为x2ln x>-,结合(1)的结论,利用两个函数最值传递证明. 　适当放缩证明不等式 已知函数f(x)=aex-1-ln x-1.证明:当a≥1时,f(x)≥0. 证明:当a≥1时,aex-1≥ex-1. 所以要证f(x)≥0,只要证ex-1-ln x-1≥0. 令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1, 当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0, 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(0)=0, 所以ex≥x+1,当且仅当x=0时,取等号. 同理可证ln x≤x