专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】正余弦定理 2 【题型二】求角 3 【题型三】判断三角形形状 5 【题型四】面积与最值 6 【题型五】周长与最值 8 【题型六】角的最值 10 【题型七】最值 12 【题型八】切弦互化求最值 14 【题型九】解三角形应用题 15 二、真题再现 19 三、模拟检测 24 正余弦定理 (1)正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 ； 注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②正弦化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ④＝ 2R ； (2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A； ②b2＝c2＋a2－2cacos_B； ③c2＝a2＋b2－2abcos_C 注意：变式：①cos A＝； ②cos B＝； ③cos C＝ (3)三角形面积 ：①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 三角形中： ①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； ②sin ＝cos ， cos＝sin； ③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0； ④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cosA＜cosB． 【题型一】正余弦定理 【典例分析】 （2022·上海市松江一中高三阶段练习）在中，、、分别是角、、所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解：依题意，在中是、的等差中项，所以， 又，所以，由余弦定理 ， 又，当且仅当时取等号，所以， 所以，即，即，所以； 故选：D 【提分秘籍】 基本规律 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种： （1） 知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）； （2） 知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边； （3） 证明化简过程中边角互化； （4） 求三角形外接圆半径. 【变式演练】 1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得． 【详解】由，边化角得， 又，所以， 展开得， 所以， 因为，所以．故选：B． 2.（2023·全国·高三专题练习）在中，，则的可能取值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于的三角函数，求出范围即可得结果. 【详解】因为， 所以，，即得，由正弦定理可得，则的可能取值为，故选：D. 3.面积（无最值型） 【题型二】求角 【典例分析】 （2022·山西吕梁·三模（文））在中，内角的对边分别为，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出. 【详解】由得， 结合余弦定理，可得， 再由正弦定理得，因为， 所以，所以，得． 因为，所以． 故选：B 【提分秘籍】 基本规律 1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。 2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。 【变式演练】 1.（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则等于（       ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案. 【详解】由正弦定理,得， 因为，故或， 故选：C 2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角，由此可求. 【详解】因为，又，所以， 所以，又，所以，所以，又， 所以，所以， 所以，故选：A. 3.（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，设，，则 （       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A，再求出角B即可计算作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：， 即，由余弦定理得：，而，解得， 由得，显然，则，， 所以. 故选：C 【题型三】判断三角形形状 【典例分析】 （2023·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（       ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰