专题4-5 解三角形大题归类-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题4-4 解三角形大题归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 1 【题型二】角平分线的扩展结论 4 【题型三】中线的处理方法 7 【题型四】三角形高的类型 11 【题型五】三角形内心 13 【题型六】外接圆 15 【题型七】双三角形 18 【题型八】四边形 19 【题型九】四边形图形最值 21 二、真题再现 25 三、模拟检测 32 【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 【典例分析】 （2022·湖北·高三开学考试）在中，，点在边上，平分. (1)若，求； (2)若，且的面积为，求的长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解； （2）利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解. （1）由，得， 在中，由正弦定理可得， 又，所以， ，故， 所以， 即， 所以. （2） 由已知，设，所以，另设. 由，可得， 所以， 因为，所以，所以， 又， 又，所以， 所以，所以. 【提分秘籍】 基本规律 角平分线“拆”面积法： 【变式演练】 1.（2022·湖北·高三开学考试）已知的角的对边分别为 ，且， (1)求角; (2)若平分交线段于点，且，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用余弦定理化简，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角， （2）由结合平分，可得，作于，则由结合已知条件可得，解方程组可求得，再利用余弦定理可求出，从而可求出三角形的周长. （1）由余弦定理得 所以可化为 再由正弦定理，得，得， 所以.因为， 所以 （2）因为平分，所以.由， 得.作于，则. 由，解得由余弦定理，得，所以 故的周长为 2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________． (1)求B (2)若，的平分线交AC于点D，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可； （2）利用角平分线的性质得到，结合余弦定理和三角形的面积公式即可 （1） 选择条件①： 根据正弦定理，可得：可得： 根据余弦定理，可得： 选择条件②： 根据余弦定理，可得： 根据正弦定理，可得： 整理可得：  。可得： 选择条件③： 易知：。可得：根据正弦定理，可得：              可得：整理可得： （2）根据题意，可得：可得： 整理可得：根据余弦定理，可得： 可得：，即可得： 解得：或（舍）故 【题型二】角平分线的扩展结论 【典例分析】 （2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D. (1)证明：，； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意得到，，由正弦定理得到，，两式相除得到，进而得到，，根据余弦定理，并代入化简，即可求解. （2）根据，得到，结合基本不等式求得，进而求得，即可求解. (1) 解：在和中，可得，， 所以，， 由正弦定理，得，， 两式相除得，可得，， 又由，根据余弦定理得 所以 代入可得 . (2)解：由，及，可得 根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立， 又由，，可得， 所以的最小值是3. 【提分秘籍】 基本规律 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 【变式演练】 1. .（2022·山东日照·高三开学考试）如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案； （2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案. （1）因为，,所以，因为， 所以由正弦定理知，即， 因为，所以，， 在中，． （2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或． 因为，所以，因为AM为的平分线， 所以（h为底边BC的高） 所以，故，而由（1）知， 所以． 2.（2022·河南·模拟预测（文））在中，角所对的边为，已知. (1)求； (2)设的平分线与交于点，求的长. 【答案】(1)(2)2 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案. （1）由得 ，再由正弦定理和余弦定理得 把代入得所以； （2）由余弦定理可得 ，因为是角的平分线， ,， 所以，所以. 在中，， 所以.