专题1.12 空间向量与立体几何全章综合测试卷-基础篇-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷-基础篇 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2022春•涪城区校级期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 【解题思路】根据空间向量基本定理即可判断． 【解答过程】解：由于向量不能构成空间的一个基底知共面， 所以O，A，B，C四点共面， 故选：D． 2．（5分）（2022春•内江期末）已知，，则（　　） A． B． C．0 D．1 【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式，即可求得． 【解答过程】解：∵，， ∴． 故选：B． 3．（5分）（2021秋•玉州区校级月考）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据图形可得，进而利用空间向量的加减法运算可得，得出结果． 【解答过程】解：由题意得，，， 故选：B． 4．（5分）（2022春•永昌县校级月考）若向量，，则（　　） A． B．5 C． D． 【解题思路】利用空间向量的坐标运算求解即可． 【解答过程】解：∵，， ∴2（﹣3，4，1）， ∴|2|， 故选：C． 5．（5分）（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解题思路】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可． 【解答过程】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2， ∴四面体ABCD为正四面体， ∵E，F分别为棱AB，CD的中点， ∴（）•（） ••• 42×1 ＝﹣2． 故选：D． 6．（5分）（2022春•梅州期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，PN＝ND，设，，，则向量用为基底表示为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法可得，代入整理并代换为基底向量即可． 【解答过程】解：根据题意，可得 ， 即． 故选：D． 7．（5分）（2021秋•淄博期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（　　） A．若，则l∥α B．若，则l⊥α C．平面α与所有坐标轴相交 D．原点O一定不在平面α内 【解题思路】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，平面α的法向量为，，则有•1＝0，即⊥，故l∥平面α或l在平面α内，A错误； 对于B，平面α的法向量为，，则有•1＝0，即⊥，故l∥平面α或l在平面α内，B错误； 对于C，平面α的法向量为，和所有坐标轴相交，C正确； 对于D，原点O可以在平面α内，D错误； 故选：C． 8．（5分）（2022春•天宁区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA．若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，此时二面角A﹣PD﹣Q的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】先建立空间直角坐标系，因为题目中有矩形ABCD，以及和这个矩形面垂直的直线，所以x，y，z轴很容易找到，再在所建坐标系中求出点P、B、D的坐标即可，要求二面角Q﹣PD﹣A的余弦值，只需求两个平面的法向量的夹角的余弦值即可，可先分别求两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求余弦值． 【解答过程】解：∵PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形， ∴分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， ∵AP＝AB＝1，BC＝2， 设BC＝a（a＞0）， ∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）， 设Q（1，y，0），则（1，y，﹣1），（1，y﹣a，0）， ∵PQ⊥QD，∴0， ∴1+y（y﹣a）+0＝0，即y2﹣ay+1＝0（*）， 当BC边上有且仅有一个Q点，方程（*）有等根， ∴y＝1，此时a＝2， 显然平面PAD的一个法向量为（1，0，0）， 设平面PQD的一个法向量为（x，y，z），则0且0， 即（1，1，﹣1），（1，﹣1，0）， ∴， 不妨取x＝1，则y＝1，z＝2， ∴（1，1，2）， 由图可知，二面角Q﹣PD﹣A为锐角，设为α， cosα＝||， 即二面角Q﹣PD﹣A即的余弦值为． 故选：C． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（2021秋•邯郸期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（　　） A．若xyz，则x＝y＝z＝0