专题1.11 空间角的向量求法大题专项训练（30道）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.11 空间角的向量求法大题专项训练（30道） 【人教A版2019选择性必修第一册】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2022•松江区校级开学）在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD，BD＝2，O为BD中点，AO⊥平面BCD，AO＝2． （1）求三棱锥A﹣BCD的体积； （2）若点E、F分别为AC、BC的中点，求直线AD与平面DEF所成角的大小． 【解题思路】（1）先求出底面积S△BCD＝2，证明出AO⊥平面BCD，即可求体积； （2）以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．用向量法求解． 【解答过程】解：（1）连接OC，在△BCD中，因为CB＝CD，BD＝2，O为BD中点， 所以OC⊥BD，所以OC2，且S△BCD2． 因为AO⊥平面BCD，且AO＝2，即三棱锥A﹣BCD的高为2， 所以三棱锥A﹣BCD的体积为V． （2）由（1）知，OC⊥BD且AO⊥平面BCD， 以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 如图所示，可得A（0，0，2），B（1，0，0），C（0，2，0），D（﹣1，0，0）． 因为点E，F分别为AC，BC的中点，所以E（0，1，1），F（，1，0）． 所以，，． 设平面DEF的法向量为，则， 取y＝﹣3，可得x＝2，z＝1，即， 设直线AD与平面DEF所成角为θ，可得sinθ． 所以直线AD与平面DEF所成角为arcsin． 2．（2022秋•南昌月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝4且AB⊥AD，△BCD沿着BD翻折， 当三棱锥C﹣ABD体积最大值时． （1）求此时三棱锥C﹣ABD的体积； （2）求此时直线AD与平面ABC夹角的正弦值． 【解题思路】（1）当平面ABD⊥平面BCD时，体积最大，取BD中点O，根据面面垂直的性质可证AO⊥平面BCD，根据长度关系计算可得体积； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题求解． 【解答过程】解：（1）△BCD沿BD折叠，当平面ABD⊥平面BCD时，体积最大， 由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，取BD中点O，AO⊥BD，则AO⊥平面BCD， 又且AB⊥AD， 则BD＝4，则△BCD为正三角形， 在△BCD中，BD边上的高为， 则三棱锥C﹣ABD体积最大值时，高为， ； （2）由（1）可知AO⊥平面BCD，可建立如图所示的空间直角坐标系， A（2，0，0），D（0，2，0），B（0，﹣2，0），C（0，0，， 则，， 设平面ABC的法向量为， 则，得， 令，则， 则， 设直线AD与平面ABC夹角为θ， 则． 3．（2022秋•五华区校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，BF⊥CF，DE＝AD＝2． （1）求多面体ABCDEF体积的最大值； （2）当多面体ABCDEF体积取最大值时，求直线DF与平面EBC所成角． 【解题思路】（1）由已知可求四棱锥E﹣ABCD的体积为V，进而可求得VE﹣BCF的最大值，再求出多面体ABCDEF体积的最大值； （2）以D为原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EBC的法向量与直线DF的方向向量，再求出直线DF与平面EBC所成角． 【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD， ∴四棱锥E﹣ABCD的体积为V2×2×2， 过点F作FH∥BC交BC于点H，如图所示， ∵平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝AC， ∴FH⊥BC，FH⊂平面FBC，∴FH⊥平面FBC，∴ED∥FH， 又FH⊂平面FBC，ED⊄平面FBC，∴ED∥平面FBC， 而DC⊥BC，FH∩BC＝C，FH，BC⊂平面FBC， ∴DC⊥平面FBC， ∴VE﹣BCF＝VD﹣BCFS△BCFBF×CF， 在Rt△BCF中，BF2+CF2＝BC2＝4≥BF×CF， ∴当且仅当BF＝CF＝2时，有最大值2，VE﹣BCF有最大值， ∴多面体ABCDEF体积有最大值为． （2）以D为原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可知D（0，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0）， 当BF＝CF时，F（1，2，1）， 设平面EBC的法向量为（x，y，z）， （2，2，﹣2），（2，0，0），（1，2，1）， 则，令z＝1，则（0，1，1）． 设直线DF与平面EBC所成角为θ， ∴sinθ＝|cos，|， 故直线DF与平面EBC所成角为． 4．（2022秋•安徽月考）如图，在四棱锥P﹣ABC