课后分层练(十二)　空间向量的综合应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十二)]　空间向量的综合应用 (每题15分) 1． 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD. (1)求证：CD⊥平面PAC. (2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD. 因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD. 又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． 所以＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，所以＝0， 所以AP⊥CD，AC⊥CD. 又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC. (2)侧棱PA上存在点E，使得BE∥平面PCD. 由(1)设E(0，0，t)，则＝(－1，0，t)． 易知＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)． 设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝2. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)． 所以n·＝1×(－1)＋1×0＋2×t＝0， 解得t＝. 所以当E为PA的中点时，BE∥平面PCD. 2． 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解： 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1， 则O，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则Q(0，1，m)． 方法一　因为＝， ＝(－1，－1，1)，则， 所以∥，于是OP∥BD1. ＝(－1，0，m)， 当m＝时，，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　. 设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1＝1，则n1＝(1，1，2)． 又因为＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m)． 设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2＝1，则n2＝(m，1－m，1)． 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此， 解得m＝，这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 3． 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2. (1)证明：平面A1BC⊥平面ABC1； (2)在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)易知AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC， 因为CC1⊥BC，CC1∩AC＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AC1. 又四边形AA1C1C是边长为的正方形，所以AC1⊥A1C. 又BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC， 又AC1⊂平面ABC1， 所以平面A1BC⊥平面ABC1. (2) 存在．由(1)得，CA，CB，CC1两两垂直，故以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A，C(0，0，0)，B(0，1，0)，A1，C1， 设M(x，y，z)，则(0≤λ≤1)，所以(x，y－1，z)＝λ， 解得x＝λ， 所以＝＝，要使CM⊥BC1，则＝0，即1－λ－3λ＝0， 解得λ＝，故在线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，且. 4． 已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点．如图，OC⊥AB，∠AOD＝，点P是 上的动点．沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD. (1)当AB∥平面PCD时，求PD的长； (2)当三棱锥P­COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值． 解：(1)因为AB∥平面PCD，AB⊂平面OPD，平面OPD∩平面PCD＝PD，所以AB∥PD， 又∠AOD＝，所以∠ODP＝∠OPD＝， 所以∠POD＝， 又OD＝OP＝1，所以PD＝. (2)由题意知OC⊥平面POD， 而S△DOP＝·OD·OP·sin ∠DOP， 所以当OD⊥OP时，三棱锥P­COD的体积最大． 易知OC，OD，OP两两垂直，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则C(1，0，0)，D(0，0，1)，P(0，1，0)， 故＝(1，－1，0)，＝(0，1，－1)． 设平面CPD的法向量为n1＝(x，y，z)． 则即 取y＝1，得x＝1，z＝1， 得平面CPD的一个法向量为n1＝(1，1，1)． 易知平面OPD的一个法向量为n2＝(1，0，0)， 设平面OPD与平面CPD的夹角为θ， 则cos θ＝， 所以平面OPD与平面CPD夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $