4向量在立体几何中的应用（夹角）（8大题型）（题型专练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4向量在立体几何中的应用（夹角) 点到线的距离 点到平面的距离 直线和平面到平面的距离 基础达标题 异面直线的夹角 直线与平面的夹角 4向量在立体几何 平面与平面的夹角（二面角） 中的应用（夹 角) 能力提升题 存在性问题的求解 拓展培优题 夹角最值的求解 基础达标题 题型一：点到线的距离 1.己知i=-1,0,1为直线AB的一个方向向量，点A(1,2,-1),P(2,-1,2),则点P到直线AB的距离为() A.4 B.√7 C.3W2 D.19 2.已知空间中有A(1,2,3),B(-1,2,2),C(2,0,1三点，则点A到直线BC的距离为() A.3V70 B.32i 14 c.2v14 7 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心， PM=PA,且PA=3,AB=2,则点0到直线DM的距离为（） 3 A.66 6 B. V66 4 1/13 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.33 6 D.33 4 4.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P(,o,zo),，且以向量m=(a,b,c(abc≠0)为方向向量，则这 条直线可以用方程“片=产=。米表示。已知直线1的方程为生=y=-:+1,则点Q24)到 a b 直线的距离为() B.5V2 2 C.5v6 3√6 2 D. 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC的中点，点P在线段D,E上，点P到直线AA,的 距离的最小值为() D C 5 B. A B D. D E 题型二：点到平面的距离 B 1.已知经过点M(2,-1,1的平面u的一个法向量为i=(-1,-2,3),则点N(0,-2,2)到平面的距离为() A.②7 B.14 6 2 c.7v6 D.√14 6 2.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，E,P分别为棱A4,CC的中点，则点E到平面DPA的距离 为() B D.2 1 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'CD'中，E为CD的中点，则点D到平面AEC'的距离为() 2 A. B.⑤ 0 C 3 3 B C. D. 3 3 D- E 2/13 B 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G分别是DD,BD,BB的中点 (1)求EF与CG所成角的余弦值； D (2)点G到平面AEF的距离. A B D B 题型三：直线和平面到平面的距离 1.己知A1,0,1,2 号c0.101,号N@,L小，则宣线Mw到平面48c的距离为） A.√6 B.6 4 C.v6 D.6 12 6 2.如图，四棱锥P-ABCD中，三角形PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，点E为线段PD的中点， BC∥AD,CD⊥AD,PC=√5，AD=2CD=2BC=2. D B (1)求证：直线CE∥平面PAB; (2)求直线CE与平面PAB间的距离. 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，已知正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为2，点E是棱AD的中点 D A B D以 E-- B (1)求直线CE与直线B'C'所成角的余弦值； (2)求直线B'C'到平面BCD'的距离， 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为线段DD的中点，F为线段BB,的中点，G为线段 AB的中点，求平面AEB,到平面CFG的距离 D B A E D G B 4/13 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四：异面直线的夹角 1.在直三棱柱ABC-A,BC,中，AB⊥BC,BB,=√2AB=V2BC,M,N分别是B,G,A,B,的中点，则直 线BM与直线CN所成角的余弦值() A.33 B.213 13 13 C.5 D.25 15 2.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，若A,E=3EB,,C,F=3FD,,则BE与DF所成的角的正弦值是() 吕 B. C. D.V3 2 3.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=2BC,E为CD的中点，则异面 直线BE与PC所成角的余弦值为() A.30 B.5 30 15 C.3 D.V5 15 30 4.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马P-ABCD中， 平面4BCD,且PA=AB=2,异面直线PD与AC所成角的余弦值为，则AD= a.g B.4 C.2 D.3 5.直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为 BB上的点，若直线4C与直线DC所成角的余弦值为2，则BD长为〈) 6 A.1 1 B.2 0. 2 题型五：直线与平面的夹角 5/13 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=AA,则直线AB,与平面BCCB所成角的正弦值为() A.6 4 B.② 2 C.v1o D.5 4 2.(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列说法正确的有() A.A,C,/1平面ACD B.B,D⊥平面ACD C.点D到平面4CD,的距离为 D.AB与平面ACD所成的角为30° 3 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=4,E是PC的 中点，点F是棱PB上靠近P的四等分点。 (1)求证：PA∥平面EDB; (2)求直线BF与平面EDB所成角的正弦值； (3)求点F到直线AB的距离. 4.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，侧面BCC,B,为矩形，平面BCCB,⊥平面ACC,A,,AA,=2, AC=AC=2. (1)证明：A,C⊥平面ABC; (2)若AB,=V13,求直线AB,与平面BCC,B所成角的正弦值. 6/13 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.在平行四边形ABCD中（图1），AB=2BC=2,M为AB的中点，将等边△ADM沿DM折起，连接 AB,AC,且AC=2(图2). M M 图1 图2 (1)求证：CM⊥平面ADM; (2)P为线段AC上的动点（不含端点），DP能否与平面ABM平行？说明理由； (3)求直线AD与平面ABM所成角的正弦值. 题型六：平面与平面的夹角（二面角） 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底 面ABCD,M为PD的中点. (1)求点P到直线BM的距离； (2)求平面PAC与平面PAD的夹角的余弦值. 7/13 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分别 在棱AA,和棱CC,上，且AD=1,CE=2,M为棱AB的中点. (1)求证：C,M⊥B,D; C B (2)求二面角B-B,E-D的余弦值； M.- (3)求点M到直线DE的距离. D B A 3.如图，平面SAC1平面ACB,△SAC是边长为4V3的等边三角形，△ACB为直角三角形，∠ACB=90°， BC=4, S B (1)当M为AB的中点时，求三棱锥M-BCS的体积： (2)求二面角A-SB-C的正弦值. 8/13 学科网·上好课 上好每一堂课 4.如图在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,ADBC,AD=2AB=2BC=√2AP=6,且底面ABCD为直角梯 形，PA⊥平面ABCD,E,F分别为线段PD,PC上靠近点P的三等分点. B (1)证明：EF⊥平面APC; (2)求平面AEF与平面ADC夹角的余弦值， B 能力提升题 题型一：存在性问题的求解 1.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点. B D (1)证明：AB/1平面ADC; (2)求直线AB,与平面ADC所成角的正弦值； ③在线段4G上是香存车一点，使得点B到平面呢的距离为2考存在，请求出 AE 的值；若不存 7 在，请说明理由. 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.在四棱锥P-ABCD中，AB/CD,AB=3CD=3,PA=2,AD=√2，∠BAD=45°，BC⊥PD,PA⊥CD P 八D C -----B (1)求证：PA⊥平面ABCD; ②设M为棱PC上一点，若直线M与B所成角的余弦信为2，求兴的值 39 3.如图1，在ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，AB=AC=2V5,BC=4.将ADE沿DE折起 到△A,DE的位置，使得A,C=2V3,如图2. D E B 图1 图2 (1)求证：平面ADE⊥平面BCED; 线段4C上是否存在点F,使得直线DP和BC所成角的余弦值为3？若存在，求出C的值：君 存在，说明理由。 10/13 4向量在立体几何中的应用（夹角） 题型一：点到线的距离 1．已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 2．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 3．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 4．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程，求出直线经过点，且为一个方向向量，再利用向量法求解即可． 【详解】由题意可得直线的方向向量， 直线经过点，又， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：B. 5．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 题型二：点到平面的距离 1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 2．在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，求出向量和平面的法向量为，利用公式即可求出答案． 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，，则， 故点E到平面的距离为． 故选：C． 3．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 4．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【详解】（1）如图建系，，，，，， 则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 题型三：直线和平面到平面的距离 1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 2．如图，四棱锥中，三角形是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，，，，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，结合四边形是平行四边形得到，再借助线面平行的判定定理说明即可; （2）取的中点，连接，通过垂直关系得到两两垂直，进而建系，将直线与平面间的距离转化为点到平面的距离，用点到面的距离公式计算即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 有，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． （2）由（1）知，因为平面， 所以直线与平面间的距离即为点到平面的距离． 取的中点，连接，因为，， 所以，， 由，，， 可知四边形是正方形，有，， 因为，平面， 所以平面， 即平面，又平面， 所以， 由，，知，得，所以， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 有，，设平面的法向量为， 由，取，则，， 得平面的一个法向量为， 又，所以到平面的距离． 所以直线与平面间的距离为． 3．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. (2)利用线面平行，转化为求到平面的距离，即可利用点面距离的向量法求解公式求解. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. （2）由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等. ，，，， 设平面的法向量为，则，且， 令，则. 又，故到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 4．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离. 【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 题型四：异面直线的夹角 1．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 2．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】 如图，设正方体棱长为4，， 则，. 因， ， 则，故， ，故， 且， 则， 设BE与DF所成的角为，则. 故选：C. 3.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 4．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 5．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可. 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 题型五：直线与平面的夹角 1．在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 2．（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为 【答案】ABC 【分析】构建空间直角坐标系，用向量法根据线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理判断AB；利用空间向量求得点D到平面的距离判断C；利用向量法求出线面角的正弦值判断D. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，，则，即. 又平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由，得，由， 得，，平面，则平面，B正确； 对于C，是平面的一个法向量，则点D到平面的距离，C正确， 对于D，与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：ABC 3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 4．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）侧面为矩形，， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以，所以， 因为，平面，所以平面． （2）连接，如图， 由（1）易知， 所以由已知可得， 在中由余弦定理可得， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以在中， 由（1）易知两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的法向量为， 则取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5．在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）． (1)求证：平面； (2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）假设平面，推导出错误结论平面平面，即可说明不可能与平面平行； （3）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以． 在中，因为，所以， 同理可得， 又，， 故平面． （2）不可能与平面平行，理由如下： 假设平面， 又因为平面平面． 所以平面． 因为平面平面， 从而有平面平面，这显然不成立， 所以不可能与平面平行． （3）设为的中点，则． 因为平面平面， 所以平面平面． 又平面平面平面，所以平面． 以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 过点且平行于的直线向上方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 因为， 所以， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则． 题型六：平面与平面的夹角（二面角） 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点． (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由题可得平面，在平面内过点作，则射线两两垂直，以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出直线与所成角的正弦，利用向量法求出点到直线的距离； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图，在正三角形中，则， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以平面， 在平面内过点作，则射线两两垂直， 以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则 ，所以， 所以点到直线的距离为. （2）设平面的法向量为， 则，令，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 2．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用空间向量法求出即可； （2）利用空间向量法分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值； （3）求出在上的投影向量的模长，进而求出到直线的距离. 【详解】（1）证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 （2）由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为 则，即 令，则 由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算. 根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 3．如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥的体积； （2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【详解】（1）如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. （2）连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 4．如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. (1)证明:平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系， 则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 题型一：存在性问题的求解 1．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【详解】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 2．在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【分析】（1）在上取一点，得到，则有，利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，则有平面，即有，再结合可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量间夹角的坐标运算公式建立方程，即可得解. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 3．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 4．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，根据面面垂直的性质定理得平面，然后根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）解法一：过作，交于点，过作于G，连接，根据线面垂直的性质及二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，设，在中，利用正切值列方程解得，即可求得. 解法二：取的中点O，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出点坐标，显然平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量，结合同角三角函数基本关系，利用向量法列方程求得，即可求得. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面. （2）解法一：存在，. 证明：假设存在点满足要求，过作，交于点， 过作于G，连接， ∵平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 所以是二面角的平面角. 设，∴，，， ∴， 解得， ∴，∴. 解法二：存在，. 取的中点O，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，∴， ，∴平面， 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，则，， ∴平面的一个法向量为， ∴， 设二面角的平面角为， 则， 解得， ∴，∴. 5．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解. 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 题型一：夹角最值的求解 1．如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，分类讨论位置，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则， 由知异面直线和所成的角即和所成的角，即，设． ①当在线段上时（包含端点），易知，则； ②当在线段上时（不含，包含），设，则， 则，当时，取得最大值； ③当在线段上时（不含，包含），设， 同理，则； ④当在线段上时（不含端点），显然． 综上所述，的最大值为， 故选：C． 2．在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（ ） A．四棱锥的体积不变 B．总有 C．点在一条定线段（不含端点）上 D．记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据可得的轨迹为如图所示的线段（不含两点），故可判断AC的正误，利用空间向量数量积的坐标形式计算后可判断B的正误，利用向量法求出后结合三角变换公式求出后结合在上无解可判断D的正误. 【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中， 因为点在正方形内，且不在棱上，故设， 对于C，因为，故，故， 故，取的中点为，的中点为， 则的轨迹为（不含两点），故C正确； 对于A，因为，故到平面的距离为1， 而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值， 故A正确； 对于B，又， 故，故B正确； 对于D，，设平面的法向量为， 则，取， 而，故. 而，设平面的法向量为， 则，取， 故. 因为，故，， 故， 令，整理得， 故，而，故， 而，故在无解，故D错误， 故选：D. 3．（多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正方体的结构特征，根据线面垂直的判定和性质证明线性垂直判断A；由已知证明平面，再由棱锥的体积求法判断B；由已知得异面直线与所成角为直线与直线的夹角，即可判断C；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值判断D. 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 4．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二]【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二]：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $