第35讲 等差数列及其前n项和-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第35讲　等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. · 考点1 等差数列的基本运算 [名师点睛] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. [典例]　 1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . 故选：D. 2．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差(       ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可． 【详解】由题可知． 故选：B． 3．（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则 因为，所以，即. 所以. 故选：B. 4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（       ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】因为， 又， 所以， 所以， 故选：B． [举一反三]　 1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为， 则，所以，又，所以，所以． 故选：C. 2．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列，则 因为数列也是等差数列，所以， 则，所以 即有，解得 故选：D． 3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，则， 因为，可得，则， 设等差数列的公差为，则， 由题意可得，可得. 即的取值范围是. 故选：C. 4．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（       ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：在等差数列中，，，故， 又，故， 则，故. 故选：C. 5．（多选）（2022·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】取，则，解得，即A正确； 由A可知，，则，即B正确； 于是有， 因为，且，即C正确； 因为，即D错误. 故选：ABC 6．（多选）（2022·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】解：由题意得： 对于选项A：取，则，解得，即A正确； 对于选项B：由A可知，，则，即B正确； 对于选项C：因为，即C错误； 对于选项D：因为，且，即D正确. 故选：ABD. 7．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 8．（2022·北京·101