第34讲 数列的概念及简单表示法-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第34讲　数列的概念及简单表示法 1.数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. · 考点1 由an与Sn的关系求通项 [名师点睛] (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解. [典例]　 1.(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　) A.an＝ B.an＝ C.Sn＝－ D.数列是等差数列 答案　BCD 解析　∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1. ∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列， 即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， ∴Sn＝－. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝， 又a1＝－1不符合上式， ∴an＝ 2.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋. ①求a1的值； ②求数列{an}的通项公式. 解　①令n＝1时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. ②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1 ＝2an－2n＋1. 因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)， 所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2， 当n＝1时也成立， 所以an＝3×2n－1－2. [举一反三]　 1.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________. 答案　－2n－1 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1. 当n≥2时，Sn＝2an＋1，① Sn－1＝2an－1＋1.② ①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1， 即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列. ∴an＝a1·qn－1＝－2n－1. 2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________. 答案　 解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)， 又由题设可得a1＝2，满足上式， 故an＝. · 考点2 由数列的递推关系式求通项公式 [名师点睛] (1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项. (3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. (4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. [典例]　 1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　) A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n 答案　A 解析　因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n， 所以