不等式专题：均值不等式求最值的6种常用方法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

均值不等式求最值的6种常用方法 一、均值不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 二、利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用均值不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在均值不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用均值不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 题型一 直接法求最值 【例1】已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】，则，当且仅当即时取得最小值6．选：． 【变式1-1】已知正数满足 ，则的最大值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数满足 ， 所以有，当且仅当时取等号，故选：B 【变式1-2】已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【解析】∵正实数a、b满足， ∴， 当且仅当，即时，取等号，故选：B. 【变式1-3】已知，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】，， 当且仅当，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】因为，，且满足， 则 当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 当且仅当时取等号， 此时的最大值为.故选：D. 【变式1-6】若，，，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．4 D．6 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号.故选：C. 【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为．故选：A． 题型二 配凑法求最值 【例2-1】已知，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】，则， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值是6. 故答案为：6 【例2-2】设，求函数的最大值。 【答案】 【解析】∵∴ ∴ 当且仅当即时等号成立 【变式2-1】设，则（ ） A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是 D．最小值是 【答案】C 【解析】由题设，， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴最大值是，故选：C. 【变式2-2】函数y＝3x2＋的最小值是( ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 【答案】D 【解析】， 当且仅当时等号成立，故选：. 【变式2-3】设，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】, 当且仅当和，即时取等号，故选：D. 【变式2-4】设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】，， ， 当且仅当， 即时取等号故选：A 题型三 消元法求最值 【例3】已知正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】依题意正实数，满足，， ， 当且仅当，时等号成立. 【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3